查看“正割”的源代码

{{expand|time=2012-10-14T02:06:34+00:00}}
{{函數
|name =正割
|image =Sec.svg

|heading1 =1
|parity =偶
|domain =  {x{{!}}x≠kπ+π/2，k∈Z} 
|codomain = {{!}}secx{{!}}≥1
|period = 2π

|heading2 = 1
|zero = 1
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = +∞
|min = -∞
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = 無實根
|critical = kπ
|inflection = kπ-π/2
|fixed = 
|notes =k是一個[[整數]]。
}}
'''正割'''（Secant，<math>\sec</math>）是[[三角函数]]的一种。它的[[定义域]]不是整个[[实数集]]，[[值域]]是[[絕對值]][[大於等于]][[一]]的[[实数]]。它是[[周期函数]]，其最小正[[周期]]为<math>2 \pi</math>。

'''正割'''是[[三角函数]]的[[正函數]]（[[正弦]]、[[正切]]、'''正割'''、[[正矢]]）之一，所以在<math>2k \pi</math>到<math>2 k \pi + \frac{\pi}{2}</math>的區間之間，函數是[[遞增]]的，另外'''正割'''函数和[[餘弦]]函数互為[[倒數]]。

在[[單位圓]]上，正割函数位於[[割線]]上，因此將此函數命名為正割函数。

和其他[[三角函數]]一樣，正割函数一樣可以擴展到[[复数_(数学)|複數]]。

==符号史==
正割的数学符号为<math>\sec</math>，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用。

==定义==

=== 直角三角形中 ===
[[File:Rtriangle.svg|left|thumb|200px|直角三角形，<math>\angle C</math>為直角，<math>\angle A</math>的角度為 <math> \theta </math>， 對於<math>\angle A</math>而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊]]
在[[直角三角形]]中，一个锐角<math>\angle A</math>的'''正割'''定义为它的斜邊与鄰邊的[[比值]]，也就是：

:<math> \sec \theta = \frac {\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\,\!</math>

可以發現其定義和[[餘弦函數]]互為[[倒數]]。

===直角坐标系中===
设<math>\alpha</math>是平面直角坐标系xOy中的一个[[象限角]]，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的[[距离]]，则<math>\alpha</math>的正割定义为：

:<math>\sec \alpha = \frac{r}{x}\,\!</math>
{{clear}}
===单位圆定义===

[[File:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|[[单位圆]]]]

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。[[逆时针方向]]的度量是正角而[[顺时针]]的度量是负角。设一个过[[原点]]的[[线]]，同''x''轴正半部分得到一个角<math>\theta</math>，并与单位圆[[相交]]。这个交点的''y''坐标等于<math>\sin \theta</math>。在这个图形中的[[三角形]]确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了<math>\sec \theta =\frac{1}{x}</math>。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
{{clear}}
对于大于<math>2\pi</math>或小于<math>-2\pi</math>的[[角度]]，简单的继续绕[[单位圆]][[旋转]]。在这种方式下，正割变成了周期为<math>2\pi</math>的[[周期函数]]：

:<math>\sec\theta = \sec\left(\theta + 2\pi k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何[[整数]]<math>k</math>。

=== 與其他函數定義 ===
[[正割函數]]和[[餘弦函數]]互為[[倒數]]

即：
:<math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math>

=== 級數定義 ===
正割也能使用泰勒級數來定義：
:<math>\sec x = 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5 x^4}{24}+\frac{61 x^6}{720}+\frac{277 x^8}{8064}+\frac{50521 x^{10}}{3628800}+.....</math>。

=== 微分方程定義 ===

:<math>\sec 'x\ = \sec x\tan x</math>

:<math>\sec x =\left( \ln \left |\sec x + \tan x\right | \right) '</math>

=== 指數定義 ===
<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,</math>

== 恆等式 ==
=== 和差角公式 ===
:<math>\sec(\theta\pm\psi)=\frac{\sec\theta\sec\psi} {1\mp\tan\theta\tan\psi}
</math>

== 巴罗的正割積分 ==
[[艾萨克·巴罗]]在1670年提出正割的積分
:<math>\int_0^{\phi}\sec t \, dt = \ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)</math>

== 參見 ==
{{commonscat|Secant function}}
*[[餘割]]
*[[餘弦]]
*[[正弦]]
*[[餘切]]
*[[正切]]
*[[三角函數]]

{{三角函數}}

[[Category:三角函数]]

[[en:Trigonometric functions#Reciprocal functions]]