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{{线性代数}}
在[[线性代数]]裡，'''正定矩阵'''是[[埃尔米特矩阵]]的一种，有时会简称为'''正定阵'''。在[[线性代数]]中，正定矩阵的性质類似[[复数]]中的[[正数|正]][[实数]]。与正定矩阵相对应的[[线性算子]]是[[对称矩阵|对称]][[确定双线性形式|正定双线性形式]]（複域中则对应[[埃尔米特矩阵|埃尔米特]][[确定双线性形式|正定双线性形式]]）。

== 定义==
一个{{math|''n''×''n''}}的实[[对称矩阵]]'''<math>M</math>'''是'''正定'''的，[[当且仅当]]对于所有的非零实系数[[向量]]{{math|''z''}}，都有{{math|''z''<sup>T</sup>'''<math>M</math>'''''z'' > 0}}。其中''z''<sup>T</sup>表示''z''的[[转置]]。

对于[[复数]]的情况，定义则为：一个{{math|''n''×''n''}}的[[埃尔米特矩阵]](或厄米矩阵)'''<math>M</math>'''是正定的当且仅当对于每个非零的複向量''z''，都有''z''<sup>*</sup>'''<math>M</math>'''''z'' > 0。其中''z''<sup>*</sup>表示''z''的[[共轭转置]]。由于'''<math>M</math>'''是[[埃尔米特矩阵]]，经计算可知，对于任意的複向量''z''，''z''<sup>*</sup>''<math>M</math>z''必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

== 判别正定阵 ==
对{{math|''n''×''n''}}的[[埃尔米特矩阵]]'''<math>M</math>'''，下列性质与“'''<math>M</math>'''为正定矩阵”等价：
{| cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
|valign="top"| '''1.''' || 矩阵<math>M</math>的所有的[[特征值]]<math>\lambda_i</math>都是正的。根据[[谱定理]]，'''<math>M</math>'''必然与一个实[[对角矩阵]]''D''[[相似矩阵|相似]]（也就是说<math>M = P^{-1}DP </math>，其中''P''是[[幺正矩阵]]，或者说'''<math>M</math>'''在某<br>个[[正交基]]可以表示为一个实[[对角矩阵]]）。因此，'''<math>M</math>'''是正定阵当且仅当相应的''D''的对角线上元素都是正的。
|-
|valign="top"| '''2.''' ||[[半双线性形式]]
:<math>\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}</math>
定义了一个'''C'''<sup>''n''</sup>上的[[内积]]。实际上，所有'''C'''<sup>''n''</sup>上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
|-
|valign="top"| '''3.''' || '''<math>M</math>'''是''n''个线性无关的''k''维向量<math>\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k</math>的[[Gram矩阵]]，其中的''k''为某个正整数。更精确地说，'''<math>M</math>'''定义为：

:<math>M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j.</math>

换句话说，'''<math>M</math>'''具有<math>A^*A</math>的形式，其中''A''不一定是方阵，但需要是单射的。
|-
|valign="top"| '''4.''' ||'''<math>M</math>'''的所有[[子式和余子式#应用|顺序主子式]]，也就是[[顺序主子阵]]的[[行列式]]都是正的（{{le|西尔维斯特准则|Sylvester's criterion}}）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：
* <math>M</math>左上角{{math|''1''×''1''}}的矩阵
* <math>M</math>左上角{{math|''2''×''2''}}矩阵
* ...
* <math>M</math>自身。

对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
:<math> \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} </math>
|-
|valign="top"| '''5.''' ||存在唯一的[[下三角矩阵]]<math>L</math>，其主对角线上的元素全是正的，使得：
:<math>M=L L^*</math>.
其中<math>L^*</math>是<math>L</math>的[[共轭转置]]。
T这一分解被称为[[Cholesky分解]]。
|}

对于实[[对称矩阵]]，只需将上述性质中的<math>\mathbb{C}^n</math>改为<math>\mathbb{R}^n</math>，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

===二次型===
由以上的第二个等价条件，可以得到[[二次型]]形式下正定矩阵的等价条件：用<math>\mathbb{K}</math>代表<math>\mathbb{C}</math>或<math>\mathbb{R}</math>，设<math>\mathbb{V}</math>是<math>\mathbb{K}</math>上的一个[[向量空间]]。一个[[埃尔米特型]]：
:<math>B : V \times V \rightarrow K</math>

是一个[[双线性映射]]，使得''B''（''x'', ''y''）总是''B''（''y'', ''x''）的[[共轭]]。这样的一个映射''B''是'''正定'''的当且仅当对<math>\mathbb{V}</math>中所有的非零向量''x''，都有''B''(''x'', ''x'') > 0。

==负定、半定及不定矩阵==
与正定矩阵相对应的，一个{{math|''n''×''n''}}的埃尔米特矩阵<math>M</math>是'''负定矩阵'''（{{lang-en|negative definite matrix}}）当且仅当对所有不为零的<math>z \in \mathbb{R}^n</math>（或<math>z \in \mathbb{C}^n</math>），都有：
:<math>z^{*} M z < 0\,</math>

<math>M</math>是'''半正定矩阵'''（{{lang-en|positive semi-definite matrix}}）当且仅当对所有不为零的<math>z \in \mathbb{R}^n</math>（或<math>z \in \mathbb{C}^n</math>），都有：
:<math>z^{*} M z \geq 0</math>

<math>M</math>是'''半负定矩阵'''（{{lang-en|negative semi-definite matrix}}）当且仅当对所有不为零的<math>z \in \mathbb{R}^n</math>（或<math>z \in \mathbb{C}^n</math>），都有：
:<math>z^{*} M z \leq 0</math>

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为'''不定矩阵'''（{{lang-en|indefinite matrix}}）。

可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当'''M'''是半正定时，相应的[[Gram矩阵]]不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵<math>A</math>，''A''<sup>*</sup>''A''必然是半正定的，并有rank(<math>A</math>) = rank（''A''<sup>*</sup>''A''，两者的[[矩阵的秩|秩]]相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作'''M''' = ''A''<sup>*</sup>''A''，这就是[[Cholesky分解]]。

一个埃尔米特矩阵''M''是负定矩阵当且仅当'''M'''的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当'''M'''是负定矩阵时，'''M'''的逆矩阵也是负定的。

==相关性质==
若<math> M </math>为半正定阵，可以写作<math> M \geq 0 </math>。如果<math> M </math>是正定阵，可以写作<math> M > 0 </math>。这个记法来自[[泛函分析]]，其中的正定阵定义了[[正算子]]。

对于一般的埃尔米特矩阵，<math>M</math>、<math>N</math>，<math> M\geq N </math>当且仅当<math> M-N \geq 0 </math>。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的[[偏序关系]]。类似地，可以定义<math>M>N</math>。

{| cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
|valign="top"| '''1.''' ||每个正定阵都是[[可逆矩阵|可逆的]]，它的逆也是正定阵。如果<math> M \geq N > 0 </math>那么<math> N^{-1} \geq M^{-1} > 0</math>。
|-
|valign="top"| '''2.''' || 如果<math>M</math>是正定阵，<math>r > 0</math>为正实数，那么<math>r M</math>也是正定阵。
如果<math>M</math>、<math>N</math>是正定阵，那么和<math>M + N</math>、乘积<math>MNM</math>与<math>NMN</math>都是正定的。如果<math>M N = N M</math>，那么<math>M N</math>仍是正定阵。

|-
|valign="top"| '''3.''' || 如果<math> M=(m_{ij}) > 0 </math>那么主对角线上的系数<math> m_{ii} </math>为正实数。于是有<math> \text{tr}(M)>0 </math>。此外还有
:<math>  | m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}. </math>

|-
|valign="top"| '''4.''' ||矩阵<math> M </math>是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵<math> B>0 </math>使得<math> B^2 = M </math>。根据其唯一性可以记作<math> B = M^{1/2} </math>，称<math> B</math>为<math> M </math>的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果<math> M > N > 0 </math>那么<math> M^{1/2} > N^{1/2}>0 </math>.

|-
|valign="top"| '''5.''' || 如果<math> M,N > 0 </math>那么<math> M\otimes N > 0 </math>，其中<math>\otimes</math>表示[[克罗内克乘积]]。

|-
|valign="top"| '''6.''' ||对矩阵<math> M=(m_{ij}),N=(n_{ij}) </math>，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为<math> M\circ N </math>，即<math>M\circ N_{i,j}=m_{ij} n_{ij} </math>，称为<math> M </math>与<math> N </math>的[[阿达马乘积]]。如果<math> M,N>0 </math>，那么<math> M\circ N > 0 </math>。如果<math> M,N </math>为'''实系数矩阵'''，则有如下不等式成立：
<math> \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}. </math>

|-
|valign="top"| '''7.''' || 设<math> M > 0 </math>，<math> N </math>为埃尔米特矩阵。如果<math> MN+NM \geq 0 </math>（<math> MN+NM > 0 </math>），那么<math> N\geq 0 </math>（<math> N > 0</math>）。

|-
|valign="top"| '''8.''' ||如果<math> M,N\geq 0</math>为实系数矩阵，则<math> \text{tr}(MN)\geq 0</math>。

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|valign="top"| '''9.''' ||如果<math> M>0</math>为实系数矩阵，那么存在<math> \delta>0 </math>使得<math> M\geq \delta I</math>，其中<math> I </math>为[[单位矩阵]]。
|}

==非埃尔米特矩阵的情况==
一个实矩阵'''M'''可能满足对所有的非零实向量''x''，''x''<sup>T</sup>'''M'''''x'' > 0而并不是对称矩阵。举例来说，矩阵
:<math> \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} </math>

就满足这个条件。对<math>x = (x_1, x_2)^T</math>并且<math>x \ne 0</math>，

:<math> \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .</math>

一般来说，一个实系数矩阵'''M'''满足对所有非零实向量''x''，有''x''<sup>T</sup>'''M'''''x'' > 0，当且仅当对称矩阵 ('''M''' + '''M'''<sup>T</sup>) / 2是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎样扩展''z''<sup>*</sup>'''M'''''z'' > 0这一性质。要使''z''<sup>*</sup>'''M'''''z''总为实数，矩阵'''M'''必须是埃尔米特矩阵。因此，若''z''<sup>*</sup>'''M'''''z''总是正实数，'''M'''必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将''z''<sup>*</sup>'''M'''''z'' > 0扩展为Re(''z''<sup>*</sup>'''M'''''z'') > 0，则等价于（'''M'''+'''M'''<sup>*</sup>） / 2为正定阵。

==参见==
*[[矩阵]]
*[[确定双线性形式]]
*[[矩阵的平方根]]
*[[舒尔补]]
*{{le|正定核|Positive-definite kernel}}
*[[正定函数]]
*[[Cholesky分解]]
*[[线性矩阵不等式]]
*[[合同矩阵]]

== 参考来源 ==
* Roger A. Horn and Charles R. Johnson. ''Matrix Analysis,'' Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

* Rajendra Bhatia. ''Positive definite matrices,''. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

*[https://web.archive.org/web/20080802023020/http://math.ecnu.edu.cn/jpkc/gdyjj/xsxz/ZhangGengYun.htm 正定矩阵]
*[https://web.archive.org/web/20070320231013/http://maths.snnu.edu.cn/down/mb.doc 关于对称矩阵的一些讨论]

[[Category:线性代数]]
[[Category:矩阵]]
[[Category:多重线性代数]]

[[de:Definitheit#Definitheit von Matrizen]]