查看“正弦”的源代码

{{函數
|name =正弦 
|image =Sin.svg

|heading1 =1
|parity =奇
|domain =  (-∞,∞)
|codomain = [-1,1]
|period = 2π

|heading2 = 1
|zero = 0
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = ((2k+½)π,1)
|min = ((2k-½)π,-1)

|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = kπ
|critical = kπ-π/2
|inflection = kπ
|fixed = 0
|notes =k是一個[[整數]]。
}}
在[[數學]]中，'''正弦'''（英語：sine、縮寫<math>\sin</math>）是一種[[週期函數]]，是[[三角函数]]的一種。它的[[定义域]]是整个[[实数集]]，[[值域]]是<math>[-1,1]</math>。它是[[周期函数]]，其最小正周期为<math>2\pi</math>。在自变量为<math>\frac{(4n+1)\pi}{2}</math>（<math>n</math>为[[整数]]）时，该函数有极大值1；在自变量为<math>\frac{(4n+3)\pi}{2}</math>时，该函数有[[极小值]]-1。正弦函数是[[奇函数]]，其图像于[[原点]]对称。

== 符号史 ==
正弦的符号为<math>\sin</math>，取自拉丁文sinus。该符号最早由[[瑞士]]数学家[[欧拉]]所使用。

== 定义 ==
=== 直角三角形中 ===
[[File:Rtriangle.svg|thumb|left|200px|直角三角形，<math>\angle C</math>為直角，<math>\angle A</math>的角度為<math> \theta </math>， 對於<math>\angle A</math>而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊]]

在[[直角三角形]]中，一个[[锐角]]<math>\angle A</math>的'''正弦'''定义为它的对边与斜边的[[比值]]，也就是：
:<math> \sin \theta = \frac {\mathrm{a}}{\mathrm{c}} </math>

其定義與[[餘割函數]]互為[[倒數]]。

=== 直角坐标系中 ===
设<math>\alpha</math>是平面直角坐标系xOy中的一个[[象限角]]，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的距离，则<math>\alpha</math>的正弦定义为：

:<math>\sin \alpha = \frac{y}{r}</math>

=== 单位圆定义 ===
[[File:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|[[单位圆]]]]

图像中给出了用弧度度量的某个[[同界角|公共角]]。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同''x''轴正半部分得到一个角<math>\theta</math>，并与单位圆相交。这个交点的''y''坐标等于<math>\sin \theta</math>。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了<math>\sin\theta=\frac{y}{1}</math>。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于<math>2\pi</math>或小于<math>-2\pi</math>的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的[[周期函数]]：

:<math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何[[整数]]<math>k</math>。

=== 級數定義 ===
[[File:Taylorsine.svg|300px|thumb|正弦函数（蓝色）的七阶[[泰勒公式]]（粉色）在以原点为中心的一个周期内紧密地逼近原函数]]
:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

=== 微分方程定义 ===
由于正弦的导数是[[余弦]]，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足[[初值問題]]
:<math>y''=-y, \, y(0)=0,\,y'(0)=1</math>

这就是正弦的微分方程定义。

=== 指数定义 ===
正弦函數的指數定義可由[[歐拉公式]]導出：
:<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,</math>

== 恒等式 ==
=== 用其它三角函数来表示正弦 ===
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
! 函数
! sin
! cos
! tan
! csc
! sec
! cot
|-
! <math>\sin \theta =</math>
| <math> \sin \theta\ </math>
| <math> \sqrt{1 - \cos^2\theta} </math>
| <math> \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} </math>
| <math> \frac{1}{\csc \theta} </math>
| <math> \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta} </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}} </math>
|}

=== 两角和差公式 ===
:<math>\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y</math>
:<math>\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y</math>

=== 二倍角公式 ===
:<math>\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\,</math>

=== 三倍角公式 ===
:<math>\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,</math>

=== 半角公式 ===
:<math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{2}.\,</math>

=== 和差化积公式 ===
:<math>\sin \theta + \sin \phi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right)</math>
:<math>\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos\left({\theta + \phi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \phi\over 2}\right) \; </math>

=== 万能公式 ===
:<math>\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2  \frac{\alpha }{2}}}</math>

== 含有正弦的积分 ==
:<math>\int\sin cx\;dx = -\frac{1}{c}\cos cx\,\!</math>
:<math>\int|\sin x|\;dx = -\cos x\,\!</math>
:<math>\int\sin^n {cx}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!</math>
:<math>\int\sin^2 {cx}\;dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4c} \sin 2cx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c} \sin cx\cos cx \!</math>
:<math>\int\sqrt{1 - \sin{x}}\;dx = \int\sqrt{\operatorname{cvs}{x}}\,dx = 2 \frac{\cos{\frac{x}{2}} + \sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{x}{2}}} \sqrt{\operatorname{cvs}{x}} = 2\sqrt{1 + \sin{x}}</math>
:<math>\int x\sin cx\;dx = \frac{\sin cx}{c^2}-\frac{x\cos cx}{c}\,\!</math>
:<math>\int x^n\sin cx\;dx = -\frac{x^n}{c}\cos cx+\frac{n}{c}\int x^{n-1}\cos cx\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!</math>
:<math>\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2}   \qquad\mbox{(for }n=2,4,6...\mbox{)}\,\!</math>
:<math>\int\frac{\sin cx}{x}\;dx = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}\,\!</math>
:<math>\int\frac{\sin cx}{x^n}\;dx = -\frac{\sin cx}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{c}{n-1}\int\frac{\cos cx}{x^{n-1}} dx\,\!</math>
:<math>\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\tan\frac{cx}{2}\right|</math>
:<math>\int\frac{dx}{\sin^n cx} = \frac{\cos cx}{c(1-n) \sin^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}cx} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}\,\!</math>
:<math>\int\frac{dx}{1\pm\sin cx} = \frac{1}{c}\tan\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)</math>
:<math>\int\frac{x\;dx}{1+\sin cx} = \frac{x}{c}\tan\left(\frac{cx}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\left(\frac{cx}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|</math>
:<math>\int\frac{x\;dx}{1-\sin cx} = \frac{x}{c}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{cx}{2}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{cx}{2}\right)\right|</math>
:<math>\int\frac{\sin cx\;dx}{1\pm\sin cx} = \pm x+\frac{1}{c}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{cx}{2}\right)</math>
:<math>\int\sin c_1x\sin c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}-\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{(for }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!</math>

== 特殊值 ==
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! 徑度
! <math>0</math>
! <math>\frac{\pi}{12}</math>
! <math>\frac{\pi}{6}</math>
! <math>\frac{\pi}{4}</math>
! <math>\frac{\pi}{3}</math>
! <math>\frac{5\pi}{12}</math>
|-
| sin
| <math>0</math>
| <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! 角度
! <math>0^\circ</math>
! <math>30^\circ</math>
! <math>45^\circ</math>
! <math>60^\circ</math>
! <math>90^\circ</math>
|-
| sin
| <math>\frac{\sqrt{0}}{2} = 0</math>
| <math>\frac{\sqrt{1}}{2} = {1 \over 2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{4}}{2} = 1</math>
|}

== 正弦定理 ==
{{Main|正弦定理}}
'''正弦定理'''說明对于任意[[三角形]]，它的边是<math>a</math>, <math>b</math>和<math>c</math>而相对这些边的角是<math>A</math>, <math>B</math>和<math>C</math>，有：
:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}</math>
也表示为：
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R</math>

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理中出现的公共数<math>\frac{\sin A}{a}</math>是通过<math>A</math>, <math>B</math>和<math>C</math>三点的圆的直径的[[倒数]]。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的[[长度]]。这是[[三角测量]]中常见情况。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* {{Commons category-inline|Sine function}}

== 參見 ==
{{Portal|数学}}
* [[餘弦]]
* [[正切]]
* [[餘切]]
* [[正割]]
* [[餘割]]
* [[三角学]]
* [[三角函数]]
* [[函數]]
* [[正弦波]]

{{-}}
{{三角函數}}

[[Category:三角函数]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]