查看“正态分布”的源代码

{{Expand|time=2017-06-27T17:53:16+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{機率分佈
|name = 常態分布
|type = 密度
|pdf_image =[[File:Normal Distribution PDF.svg|325px|Probability density function for the Normal distribtion]]<br /><small>{{Color sample|#CC0000}}紅線代表標準常態分佈</small>
|cdf_image =[[File:Normal Distribution CDF.svg|325px|Cumulative distribution function for the Normal distribution]]<br /><small>顏色與機率密度函數同</small>
|parameters =<math>\mu</math>数学期望（实数）<br /><math>\sigma^2>0</math>方差（实数）
|support =<math>x \in (-\infty;+\infty)\!</math>
|pdf = <math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!</math>
|cdf = <math>\frac12 \left(1 + \operatorname{erf} \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!</math>
|mean = <math>\mu</math>
|median =<math>\mu</math>
|mode = <math>\mu</math>
|variance =<math>\sigma^2</math>
|skewness = 0
|kurtosis = 0
|entropy =<math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!</math>
|mgf = <math>M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\sigma^2 \frac{t^2}{2}\right)</math>
|char = <math>\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
}}
'''常態分布'''（{{lang-en|normal distribution}}）又名'''高斯分布'''（{{lang-en|'''Gaussian distribution'''}}），是一個非常常見的[[概率分布|連續機率分布]]。常態分布在[[统计学]]上十分重要，經常用在[[自然科学|自然]]和[[社会科学]]來代表一個不明的隨機變量。<ref>[http://www.encyclopedia.com/topic/Normal_Distribution.aspx#3 ''Normal Distribution''], Gale Encyclopedia of Psychology</ref><ref>{{harvtxt |Casella |Berger |2001 |p=102 }}</ref>

若[[隨機變量]]<math>X</math>服從一個位置參數為<math>\mu</math>、尺度參數為<math>\sigma</math>的常態分布，記為：
:<math>X \sim N(\mu,\sigma^2),</math><ref name="ISBN9789864128990">{{cite book|author= Shaou-Gang Miaou|coauthors=Jin-Syan Chou|title=《Fundamentals of probability and statistics》|year=2012|publisher=高立圖書|isbn=9789864128990|pages=第147頁}}</ref>
則其[[機率密度函數]]為
<math>f(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} } \!</math><ref name="ISBN9789864128990"/>

常態分布的[[數學期望]]值或[[期望值]]<math>\mu</math>等於位置參數，決定了分布的位置；其[[方差]]<math>\sigma^2</math>的開平方或[[標準差]]<math>\sigma</math>等於尺度參數，決定了分布的幅度。

常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為'''鐘形曲線'''（类似于寺庙里的大钟，因此得名）。我們通常所說的'''標準常態分布'''是位置參數<math>\mu = 0</math>，尺度參數<math>\sigma^2 = 1</math>的常態分布<ref name="ISBN9789864128990"/>（見右圖中紅色曲線）。

== 概要 ==
常態分布是[[自然科學]]與[[行為科學]]中的定量現象的一個方便模型。各種各樣的[[心理學]]測試分數和[[物理]]現象比如[[光子]]計數都被發現近似地服從常態分布。儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從常態分布（在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明）。常態分布出現在許多區域[[統計]]：例如，[[採樣分佈|採樣分布]][[均值]]是近似地常態的，即使被採樣的樣本的原始群體分布並不服從常態分布。另外，常態分布[[信息熵]]在所有的已知均值及方差的分布中最大，這使得它作為一種[[均值]]以及[[方差]]已知的分布的自然選擇。常態分布是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分布。在[[概率論]]，常態分布是幾種連續以及離散分布的[[極限分佈|極限分布]]。

=== 歷史 ===
常態分布最早是[[亞伯拉罕·棣莫弗|棣莫弗]]在1718年著作的書籍的（{{lang|en|Doctrine of Change}}），及1734年發表的一篇關於[[二項分佈|二項分布]]文章中提出的，當二項隨機變數的位置參數n很大及形狀參數p為1/2時，則所推導出二項分布的近似分布函數就是常態分布。[[拉普拉斯]]在1812年发表的《分析概率论》（{{lang|fr|Theorie Analytique des Probabilites}}）中對棣莫佛的結論作了擴展到二項分布的位置參數為n及形狀參數為1>p>0時。現在这一结论通常被稱為[[中央極限定理#棣莫佛－拉普拉斯定理|棣莫佛－拉普拉斯定理]]。

拉普拉斯在[[誤差分析]]試驗中使用了常態分布。[[勒讓德]]於1805年引入[[最小二乘法]]這一重要方法'''；而'''[[高斯]]則宣稱他早在1794年就使用了該方法，並通過假設誤差服從常態分布給出了嚴格的證明。

「鐘形曲線」這個名字可以追溯到[[Jouffret]]他在1872年首次提出這個術語「鐘形曲面」，用來指代[[多元常態分佈|二元常態分布]]（[[multivariate normal distribution|bivariate normal]]）。正态分布這個名字還被[[Charles S. Peirce]]、[[Francis Galton]]、[[Wilhelm Lexis]]在1875分别獨立地使用。這個術語是不幸的，因為它反映和鼓勵了一種謬誤，即很多概率分布都是常態的。（請參考下面的「實例」）

這個分布被稱為「常態」或者「高斯」正好是[[Stigler名字由來法則]]的一個例子，這個法則說「沒有科學發現是以它最初的發現者命名的」。

== 正态分布的定義 ==
有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。最直觀的方法是[[概率密度函數]]，這種方法能夠表示隨機變量每個取值有多大的可能性。[[累積分佈函數|累積分布函數]]是一種概率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。還有一些其他的等價方法，例如cumulant、[[特徵函數]]、[[動差生成函數]]以及cumulant-[[生成函數]]。這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。請參考關於[[概率分佈|概率分布]]的討論。

=== 概率密度函數 ===
[[File:Normal Distribution PDF.svg|325px|thumb|四个不同参数集的概率密度函数（紅色线代表标准正态分布）]]

'''常態分布'''的[[概率密度函數]]均值為<math>\mu</math> [[方差]]為<math>\sigma^2</math> (或[[標準差]]<math>\sigma</math>)是[[高斯函數]]的一個實例：
:<math>
f(x;\mu,\sigma)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right)</math>。

(''請看[[指數函數]]以及<math>\pi</math>.'')

如果一個[[隨機變量]]<math>X</math>服從這個分布，我們寫作
<math>X</math> ~ <math>N(\mu, \sigma^2)</math>.
如果<math>\mu = 0</math>並且<math>\sigma = 1</math>，這個分布被稱為'''標準正态分布'''，這個分布能夠簡化為

:<math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right)</math>。

右邊是給出了不同參數的正态分布的函數圖。

正态分布中一些值得注意的量：
* 密度函數關於平均值對稱
* 平均值與它的[[眾數 (數學)|眾數]]（statistical mode）以及[[中位數]]（median）同一數值。
* 函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個[[標準差]]範圍內。
* 95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差<math>2 \sigma</math>的範圍內。
* 99.730020%的面積在平均數左右三個標準差<math>3 \sigma</math>的範圍內。
* 99.993666%的面積在平均數左右四個標準差<math>4 \sigma</math>的範圍內。
* 函數曲線的[[拐點]]（inflection point）為離平均數一個標準差距離的位置。

=== 累積分布函數 ===
[[File:Normal Distribution CDF.svg|325px|thumb|上图所示的機率密度函数的累積分布函數]]

[[累積分佈函數|累積分布函數]]是指隨機變數<math>X</math>小於或等於<math>x</math>的機率，用機率密度函數表示為

:<math>
F(x;\mu,\sigma)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
 \exp
 \left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}
\ \right)\, dt.
</math>

常態分布的累積分布函数能够由一個叫做[[误差函数]]的[[特殊函数]]表示：
:<math>
\Phi(z)=
\frac12 \left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{z-\mu}{\sigma\sqrt2}\right)\right] .</math>

'''標準常態分布'''的累積分布函數習慣上記為<math>\Phi</math>，它僅僅'''是指<math>\mu=0</math>，<math>\sigma=1</math>時'''的值，

:<math>
\Phi(x)
=F(x;0,1)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)
\, dt.
</math>

將一般常態分布用[[誤差函數]]表示的公式简化，可得：

:<math>
\Phi(z)
=
\frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right]
.
</math>

它的[[反函數]]被稱為反誤差函數，為：

:<math>
\Phi^{-1}(p)
=
\sqrt2
\;
\operatorname{erf}^{-1} \left(2p - 1 \right)
.
</math>

該分位數函數有時也被稱為[[probit]]函數。[[probit]]函數已被證明沒有初等原函数。

'''常態分布的[[分佈函數|分布函數]]<math>\Phi(x)</math>沒有解析表達式'''，它的值可以通過[[數值積分]]、[[泰勒級數]]或者[[漸進序列]]近似得到。

=== 生成函數 ===
==== 矩母函数 ====
[[動差生成函數]]或矩生成函數或動差產生函數被定義為<math>\exp(tX)</math>的期望值。

常態分布的動差產生函數如下：


:{|
|-
| <math>M_X(t)\,</math> || <math>=
\mathrm{E}
\left(
 e^{tX}
\right)
</math>
|-
|   || <math>=
\int_{-\infty}^{\infty}
 \frac
 {1}
 {\sigma \sqrt{2\pi} }
 e^{\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)}
 e^{tx}
\, dx
</math>
|-
|   || <math>=
e^{
\left(
 \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}
\right)}
</math>
|}
可以通過在指數函數內配平方得到。

==== 特徵函數 ====
[[特征函数 (概率论)|特徵函數]]被定義為<math>\exp (i t X)</math>的[[期望值]]，其中<math>i</math>是虛數單位.<!---then what is t?--->
對於一個常态分布來講，特徵函數是：
:{|
|-
| <math>\phi_X(t;\mu,\sigma)\!</math> || <math>=
\mathrm{E}
\left[
 \exp(i t X)
\right]
</math>
|-
|   || <math>=
\int_{-\infty}^{\infty}
 \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}
 \exp
 \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}
 \right)
 \exp(i t x)
\, dx
</math>
|-
|   || <math>=
\exp
\left(
 i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}
\right)
.
</math>
|}
把矩生成函數中的<math>t</math>換成<math>i t</math>就能得到特徵函數。

== 性質 ==
常態分布的一些性質：

# 如果<math>X \sim N(\mu, \sigma^2) \,</math>且<math>a</math>與<math>b</math>是[[實數]]，那麼<math>a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2)</math> (參見[[期望值]]和[[方差]]).
# 如果<math>X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)</math>與<math>Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)</math>是[[統計獨立]]的常態[[隨機變量]]，那麼：
#* 它們的和也滿足常態分布<math>U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math> ({{link-en|正态分布随机变量总和|sum of normally distributed random variables|proof}}).
#* 它們的差也滿足常態分布<math>V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
#* <math>U</math>與<math>V</math>兩者是相互獨立的。（要求X与Y的方差相等）
# 如果<math>X \sim N(0, \sigma^2_X)</math>和<math>Y \sim N(0, \sigma^2_Y)</math>是獨立常態隨機變量，那麼：
#* 它們的積<math>X Y</math>服從機率密度函數為<math>p</math>的分布
#*:<math>p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),</math>其中<math>K_0</math>是修正貝塞爾函數（modified Bessel function）
#* 它們的比符合[[柯西分佈|柯西分布]]，滿足<math>X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y)</math>.
# 如果<math>X_1, \cdots, X_n</math>為獨立標準常態隨機變量，那麼<math>X_1^2 + \cdots + X_n^2</math>服從自由度為''n''的[[卡方分佈|卡方分布]]。

=== 標準化常態隨機變量 ===
{{Empty section}}

=== 動差或矩（{{lang|en|moment}}）===
一些常態分布的一階動差如下：
{| class="wikitable"
|- bgcolor="#CCCCCC"
! 階數!! 原點矩 !! 中心矩 !! 累積量
|-
| 0 || 1 || 0 ||
|-
| 1 || <math>\mu</math> || 0 || <math>\mu</math>
|-
| 2 || <math>\mu^2 + \sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math>
|-
| 3 || <math>\mu^3 + 3\mu\sigma^2</math> || 0 || 0
|-
| 4 || <math>\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4</math> || <math>3 \sigma^4</math> || 0
|}

標準常態的所有二階以上的[[累積量]]為零。

=== 生成常態隨機變量 ===
{{Empty section}}

=== 中心極限定理 ===
{{Main|中心極限定理}}
[[File:Normal approximation to binomial.svg|325px|thumb|正态分布的概率密度函數，參數為μ = 12，σ = 3，趨近於''n'' = 48、''p'' = 1/4的[[二項分佈|二項分布]]的概率質量函數。]]

常態分布有一個非常重要的性質：在特定條件下，大量'''[[統計獨立]]的隨機變量的平均值的分布趨於正态分布，這就是[[中心極限定理]]'''。中心極限定理的重要意義在於，根據這一定理的結論，其他概率分布可以用正态分布作為近似。

* '''參數為<math>n</math>和<math>p</math>的[[二項分佈|二項分布]]，在<math>n</math>相當大而且<math>p</math>接近0.5時近似於正态分布'''（有的參考書建議僅在<math>n p</math>與<math>n(1 - p)</math>至少為5時才能使用這一近似）。

近似正态分布平均數為<math>\mu = n p</math>且方差為<math>\sigma^2 = n p (1 - p)</math>.

* '''一[[泊松分佈|泊松分布]]帶有參數<math>\lambda</math>當取樣樣本數很大時將近似正态分布<math>\lambda</math>'''.
近似正态分布平均數為<math>\mu = \lambda</math>且方差為<math>\sigma^2 = \lambda</math>.

這些近似值是否完全充分正確取決於使用者的使用需求

=== 無限可分性 ===
正态分布是[[無限可分]]的概率分布。

=== 穩定性 ===
正态分布是嚴格[[穩定]]的概率分布。

=== 標準偏差 ===
[[File:Standard deviation diagram.svg|thumb|350px|深藍色區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍。在[[常態分佈|常態分布]]中，此範圍所佔比率為全部數值之'''68%'''，根據常態分布，兩個標準差之內的比率合起來為'''95%'''；三個標準差之內的比率合起來為'''99%'''。]]

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於[[常態分佈|常態分布]]的機率分布。若其假設正確，則約'''68.3%'''數值分布在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約'''95.4%'''數值分布在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約'''99.7%'''數值分布在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「'''[[68–95–99.7原則|68-95-99.7法則]]'''」或「'''經驗法則'''」。

{| class="wikitable" style="font-size:&nbsp;"
|-
! rowspan=2 | 數字比率<br/>標準差值
! 機率
! colspan=2 | 包含之外比例
|-
! 百分比
! 百分比
! 比例
|-
|{{val|0.318639}}''σ''
|25%
|75%
|3 / 4
|-
| {{val|0.674490}}''σ''
| {{val|50}}%
| {{val|50}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|2}}
|-
| {{val|0.994458}}''σ''
| 68%
| 32%
| 1&nbsp;/&nbsp;3.125
|-
| 1''σ''
| {{val|68.2689492}}%
| {{val|31.7310508}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|3.1514872}}
|-
| {{val|1.281552}}''σ''
| 80%
| 20%
| 1&nbsp;/&nbsp;5
|-
| {{val|1.644854}}''σ''
| 90%
| 10%
| 1&nbsp;/&nbsp;10
|-
| {{val|1.959964}}''σ''
| 95%
| 5%
| 1&nbsp;/&nbsp;20
|-
| 2''σ''
| {{val|95.4499736}}%
| {{val|4.5500264}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|21.977895}}
|-
| {{val|2.575829}}''σ''
| 99%
| 1%
| 1&nbsp;/&nbsp;100
|-
| 3''σ''
| {{val|99.7300204}}%
| {{val|0.2699796}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;370.398
|-
| {{val|3.290527}}''σ''
| 99.9%
| 0.1%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000}}
|-
| {{val|3.890592}}''σ''
| 99.99%
| 0.01%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000}}
|-
| 4''σ''
| {{val|99.993666}}%
| {{val|0.006334}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|15787}}
|-
| {{val|4.417173}}''σ''
| 99.999%
| 0.001%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000}}
|-
| {{val|4.5}}''σ''
| {{gaps|99.999|320|465|3751%}}
| {{gaps|0.000|679|534|6249%}}
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|147159.5358}}<br>3.4&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000}} (''每一邊'')
|-
| {{val|4.891638}}''σ''
| {{val|99.9999}}%
| {{val|0.0001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000}}
|-
| 5''σ''
| {{val|99.9999426697}}%
| {{val|0.0000573303}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1744278}}
|-
| {{val|5.326724}}''σ''
| {{val|99.99999}}%
| {{val|0.00001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000000}}
|-
| {{val|5.730729}}''σ''
| {{val|99.999999}}%
| {{val|0.000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000000}}
|-
| [[六標準差#西格玛等级|{{val|6}}''σ'']]
| {{val|99.9999998027}}%
| {{val|0.0000001973}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|506797346}}
|-
| {{val|6.109410}}''σ''
| {{val|99.9999999}}%
| {{val|0.0000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000000}}
|-
| {{val|6.466951}}''σ''
| {{val|99.99999999}}%
| {{val|0.00000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000000000}}
|-
| {{val|6.806502}}''σ''
| {{val|99.999999999}}%
| {{val|0.000000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000000000}}
|-
| 7''σ''
| {{gaps|99.999|999|999|7440%}}
| {{val|0.000000000256}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|390682215445}}
|}

== 相關分布 ==
* <math>R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)</math>是[[瑞利分布]]，如果<math>R = \sqrt{X^2 + Y^2}</math>，这里<math> X \sim N(0, \sigma^2) </math>和<math>Y \sim N(0, \sigma^2)</math>是两个独立正态分布。
* <math>Y \sim \chi_{\nu}^2</math>是[[卡方分布]]具有<math>\nu</math>[[自由度]]，如果<math>Y = \sum_{k=1}^{\nu} X_k^2</math>这里<math>X_k \sim N(0,1)</math>其中<math>k=1,\dots,\nu</math>是独立的。
* <math>Y \sim \mathrm{Cauchy}(\mu = 0, \theta = 1)</math>是[[柯西分布]]，如果<math>Y = X_1/X_2</math>，其中<math>X_1 \sim N(0,1)</math>并且<math>X_2 \sim N(0,1)</math>是两个独立的正态分布。
* <math>Y \sim \mbox{Log-N}(\mu, \sigma^2)</math>是[[对数正态分布]]如果<math>Y = e^X</math>并且<math>X \sim N(\mu, \sigma^2)</math>.
* 与[[稳定分布|Lévy skew alpha-stable分布]]相关：如果<math>X\sim \textrm{Levy-S}\alpha\textrm{S}(2,\beta,\sigma/\sqrt{2},\mu)</math>因而<math>X \sim N(\mu,\sigma^2)</math>.

== 參量估計 ==
=== 參數的極大似然估計 ===
==== 概念一般化 ====
[[多元正态分布]]的[[協方差矩陣]]的估計的推導是比較難於理解的。它需要瞭解[[譜原理]]（spectral theorem）以及為什麼把一個[[標量]]看做一個1×1[[矩阵]](matrix)的迹(trace)而不僅僅是一個標量更合理的原因。請參考[[協方差矩陣的估計]]（estimation of covariance matrices）.
=== 參數的矩估計 ===
{{Empty section}}

== 常見實例 ==
=== 光子計數 ===
{{Empty section}}
=== 計量誤差 ===
==== 飲料裝填量不足與超量的機率 ====
某飲料公司裝瓶流程嚴謹，每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配法則。隨機選取一罐，求（1）容量超過605毫升的機率；（2）容量小於590毫升的機率。

容量超過605毫升的機率 = p ( X > 605)= p ( ((X-μ) /σ) > ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z > 5/3) = p( Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475

容量小於590毫升的機率 = p (X < 590) = p ( ((X-μ) /σ) < ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z < -10/3) = p( Z < -3.33) = 0.0004

[[六標準差|6-標準差]](6-sigma或6-σ)的品質管制標準

6-標準差(6-sigma或6-σ)，是製造業流行的品質管制標準。在這個標準之下，一個標準常態分配的變數值出現在正負三個標準差之外，只有2* 0.0013= 0.0026 (p (Z < -3) = 0.0013以及p(Z > 3) = 0.0013)。也就是說，這種品質管制標準的產品不良率只有萬分之二十六。假設例中的飲料公司裝瓶流程採用這個標準，而每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配。那么預期裝填容量的範圍應該多少？

6-標準差的範圍 = p ( -3 < Z < 3)= p ( - 3 < (X-μ) /σ < 3) = p ( -3 < (X- 600) / 3 < 3)= p ( -9 < X – 600 < 9) = p (591 < X < 609)
因此，預期裝填容量應該介於591至609毫升之間。

=== 生物標本的物理特性 ===
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=== 金融變量 ===
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=== 壽命 ===
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=== 測試和智力分布 ===
==== 計算學生智商高低的機率 ====
假設某校入學新生的智力測驗平均分數與标准差分別為100與12。那麼隨機抽取50個學生，他們智力測驗平均分數大於105的機率？小於90的機率？

本例沒有常態分配的假設，還好中央極限定理提供一個可行解，那就是當隨機樣本長度超過30，樣本平均數<math>\bar{x}</math>近似於一個常態變數，

因此標準常態變數<math>Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}</math>。

平均分數大於105的機率 <math>P(Z>\frac{105-100}{12/\sqrt{50}}) =P(Z>5/1.7) =P(Z>2.94) =0.0016</math>

平均分數小於90的機率 <math>P(Z<\frac{90-100}{12/\sqrt{50}}) =P(Z<-5.88) =0.0000</math>

== 计算统计应用 ==
=== 生成正态分布随机变量 ===
在计算机模拟中，经常需要生成正态分布的数值。最基本的一个方法是使用标准的正态累积分布函数的反函数。除此之外还有其他更加高效的方法，Box-Muller变换就是其中之一。另一个更加快捷的方法是ziggurat算法。下面将介绍这两种方法。一个简单可行的并且容易编程的方法是：求12个在（0,1）上均匀分布的和，然后减6(12的一半)。这种方法可以用在很多应用中。这12个数的和是Irwin-Hall分布；选择一个方差12。这个随即推导的结果限制在（-6,6）之间，并且密度为12，是用11次多项式估计正态分布。

Box-Muller方法是以两组独立的随机数U和V，这两组数在(0,1]上均匀分布，用U和V生成两组独立的标准常态分布随机变量X和Y:

:<math> X = \sqrt{- 2 \ln U} \, \cos(2 \pi V) ,</math>

:<math> Y = \sqrt{- 2 \ln U} \, \sin(2 \pi V)</math>。
这个方程的提出是因为二自由度的[[卡方分布]]（见性质4）很容易由指数随机变量（方程中的lnU）生成。因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度，用指数分布选择半径然后变换成（正态分布的）x,y坐标。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* John Aldrich. [https://web.archive.org/web/20000610213020/http://members.aol.com/jeff570/stat.html Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics].網上材料，2006年6月3日存在.(''See "Symbols associated with the Normal Distribution".'')
* [[Abraham de Moivre]] (1738年). ''[[The Doctrine of Chances]]''.
* [[Stephen Jay Gould]] (1981年). ''[[The Mismeasure of Man]]''. First edition. W. W. Norton. ISBN 978-0-393-01489-1.
* [[Richard Herrnstein|R. J. Herrnstein]] and [[Charles Murray]] (1994年). ''[[The Bell Curve]]: Intelligence and Class Structure in American Life''. [[Free Press]]. ISBN 978-0-02-914673-6.
* [[Pierre-Simon Laplace]] (1812年). ''[[Analytical Theory of Probabilities]]''.
* Jeff Miller, John Aldrich, et al. [https://web.archive.org/web/19990117033417/http://members.aol.com/jeff570/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]. In particular, the entries for [https://web.archive.org/web/19991001182725/http://members.aol.com/jeff570/b.html "bell-shaped and bell curve"], [https://web.archive.org/web/19991003084940/http://members.aol.com/jeff570/n.html "normal" (distribution)], [https://web.archive.org/web/19990508225359/http://members.aol.com/jeff570/g.html "Gaussian"], and [https://web.archive.org/web/19990508224238/http://members.aol.com/jeff570/e.html "Error, law of error, theory of errors, etc."].網上材料，2006年6月3日存在
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== 外部链接 ==
{{Commons category|Normal distribution}}
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* [http://www.sixsigmafirst.com/proba.htm basic tools for sixsigma]
* [http://planetmath.org/encyclopedia/NormalRandomVariable.html PlanetMath: normal random variable]
* [http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref_19.html#SEC288 GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution]
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html Distribution Calculator] – Calculates probabilities and critical values for normal, ''[[Student's t-distribution|t]]'', [[chi-square distribution|chi-square]] and [[F-distribution|''F''-distribution]].
* [https://web.archive.org/web/20090321025914/http://home.online.no/~pjacklam/notes/invnorm/impl/misra/normsinv.html Inverse Cumulative Standard Normal Distribution Function]
* [https://web.archive.org/web/20060210125807/http://www.visualstatistics.net/Statistics/Euler/Euler.htm Is normal distribution due to Karl Gauss? Euler, his family of gamma functions, and place in history of statistics]
* [https://web.archive.org/web/20060405193854/http://www.visualstatistics.net/Statistics/Maxwell%20Demons/Maxwell%20Demons.htm Maxwell demons: Simulating probability distributions with functions of propositional calculus]
* [https://www.ztable.net Normal distribution table]
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* [http://www.flickering.cn/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B9%8B%E7%BE%8E/2014/06/%E7%81%AB%E5%85%89%E6%91%87%E6%9B%B3%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83%E7%9A%84%E5%89%8D%E4%B8%96%E4%BB%8A%E7%94%9F%E4%B8%8B/ 正态分布的前世今生(下)]
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php?language=zh 在线计算器 正态分布]

== 參見 ==
{{Portal box|数学|统计学}}
* [[中心極限定理]]
* [[概率論]]
* [[伽玛分布]]

{{-}}
{{常见一元概率分布}}
{{概率分布|continuous-infinite}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:共轭先验分布]]
[[Category:带共轭先验值的分布]]
[[Category:正态分布| ]]
[[Category:指数族分布]]
[[Category:稳定分布]]
[[Category:概率分布]]