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在[[数学]]中，特别是应用于[[复分析]]，一个'''正规族'''（{{lang|en|normal family}}）是[[连续函数]]的一个[[相对紧子集|预紧]]族。非正式地讲，这意味着这一族中的函数不能扩展得太广；它们以一种相对“紧致”地方式集中在一起。理解[[函数空间]]中的紧子集是有广泛意义的，因为它们通常自然是无穷维的。

更正式地，定义在某个[[完备度量空间]] ''X'' 上取值于另一个完备度量空间 ''Y'' 的连续函数 ''f'' 的一个[[集合]]（有时称为[[族 (数学)|族]]） ''F'' 称为'''正规'''的，如果 ''F'' 中每个函数[[序列]]包含一个[[子序列]][[紧收敛]]到一个从 ''X'' 到 ''Y'' 的连续函数。

==复分析==

这个定义经常在复分析中用于[[全纯函数]]空间。此时变为全纯函数的一个序列，紧收敛到一个全纯函数。所以可以将 ''X'' 换成复平面上一个区域，''Y'' 为复平面自己，将连续换成全纯，得到的定义是用于复分析中的版本。

这里另一个常用的空间是[[亚纯函数]]空间。这与全纯类似，但收敛不是使用标准的[[度量空间|度量]]而是使用[[黎曼球面|球面度量]]。这就是如果 ''d'' 是球面度量，则要使

:<math>f_n(z) \to f(z)</math> 
紧收敛，意味着

:<math>d\left(f_n(z),f(z)\right)\, </math>

在任意紧子集上[[一致收敛]]到 0。

==名称==

[[保罗·蒙泰尔]]于1912年发明了术语“正规族”<ref>{{cite book
| url = http://books.google.ca/books?id=BHc2b0iCoy8C
| title = Classical Topics in Complex Function Theory
| author = Reinhold Remmert, Leslie Kay
| publisher = Springer
| year = 1998
| pages = 154
| accessdate = 2009-03-01
}}</ref>。

注意到这是一个经典定义，尽管很常用，但与现代的名称不一致。在现代语言中，我们在连续（全纯）函数空间上可给定一个度量，在紧子集上相应的收敛，则可以说在这样一个度量空间中的“函数预紧集合”而不是说“连续（全纯）函数的正规族”。这增加了一般性，但使用起来变麻烦了，因为需要定义上面提到的度量。

==相关条目==

*[[蒙泰尔定理]]

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite book | author = John B. Conway | title = Functions of One Complex Variable I | publisher = Springer-Verlag | year = 1978 | isbn=0-387-90328-3 }}
*{{cite book | author = J. L. Schiff | title = Normal Families | publisher = Springer-Verlag | year = 1993 | isbn=0-387-97967-0 }}

{{planetmath|title=normal family|id=5753}}

[[Category:连续映射|Z]]
[[Category:函数空间的拓扑|Z]]
[[Category:复分析|Z]]