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殼層定理(Shell Theorem)是古典重力學上的理論，其可簡化重力於對稱球體內部和外部的貢獻，並且在天文學上有特別的應用。
殼層定理最先由牛頓在所推演出來<ref>Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London. pp. Theorem XXXI.</ref>，其闡明了
# 球對稱物體對於球體外的重力貢獻如同將球體質量集中於球心。
# 在對稱球體內部的物體不受其外部球殼的重力影響。
由殼層定理的結果亦可得知，在一質量均勻分布的球體，重力由表面至中心線性遞減至零。因為球殼不會對內部物體有重力之貢獻，而剩餘之質量(不包括球殼)是與''r''<sup>3</sup>成正比，而重力是正比於''m''/''r''<sup>2</sup>，因此重力與''r''<sup>3</sup>/''r''<sup>2</sup> = ''r''成正比。
在星體運動的分析中，殼層定理是非常重要的，因為其隱含地表示可將星體視為一個質點來計算。除了重力之外，殼層定理亦可描述均勻帶電球體所貢獻的電場，或者是其他[[平方反比定律]]的物理現象。
== 推導 ==
=== 球體之外的重力 ===
一個均勻實心的球體可視為由無限多個極薄的球殼所組成，而每個球殼均視為一個質點，所以先考慮以下灰色環狀區域:
[[File:Shell-diag-1.png|500px|无框|居中|Shell-diag-1]]
其中''dθ''是微分角度，非弧長。根據牛頓萬有引力定律，環狀區域對質點''m''的重力貢獻為<ref> Raymond A. Serway and John W. Jewett (2007), Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics.</ref>
:<math>dF_r = \frac{Gm\,dM}{s^2}\cos \phi.</math>
力的方向指向球心。將所有的''dF<sub>r</sub>''積分，即為質點''m''之所受重力
:<math>F_r = \int dF_r = Gm\int \frac{dM}{s^2}\cos \phi.</math>
接著，將''dM''表成與''θ''相關的函數。總球殼面積為
:<math>4 \pi R^2</math>
而灰色環狀區域的面積為
:<math>2 \pi R \sin \theta \cdot Rd\theta .</math>
所以灰色環狀區域的質量''dM''可表為
:<math>dM = \frac{2 \pi R^2 \sin \theta}{4 \pi R^2}Md \theta .</math>
因此
:<math>F_r = \frac{GMm}{2} \int \frac{\sin \theta \cos \phi}{s^2} d \theta .</math>
由[[餘弦定理]]可知
:<math>\cos \phi = \frac{r^2+s^2-R^2}{2rs}</math>
:<math>\cos \theta = \frac{r^2+R^2-s^2}{2rR}.</math>
''θ''由0積分至''π''，''φ''由0增加到最大值再遞減至0，''s''由''r - R''變化至''r + R''。積分計算的過程如下圖所示。
[[File:Shell-diag-1-anim.gif|650px|无框|居中|Shell-diag-1-anim]]
對前述之餘弦定理給出的關係式第二式做隱微分計算可得
:<math>\sin \theta d \theta = \frac{s}{rR} ds.</math>
因此''F<sub>r</sub>''可變數變換為
:<math>F_r = \frac{GMm}{2rR} \int \frac{\cos \phi}{s}ds = \frac{GMm}{4r^2 R} \int_{r-R}^{r+R} \left( 1+ \frac{r^2 -R^2}{s^2}\right)ds</math>
所以
:<math>F_r = \frac{GMm}{4r^2 R} \left( s- \frac{r^2 - R^2}{s} \right)_{r-R}^{r+R} = \frac{GMm}{r^2}.</math>
即薄球殼貢獻之重力如同將所有質量集中於球心。
接著，將每一個薄球殼''dM''累加起來，即是實心球體對外部物體的重力貢獻
:<math>F_{total} = \int dF_r = \frac{Gm}{r^2} \int dM.</math>
在距球心''x''到''x'' + ''dx''的球殼質量''dM''可寫為
:<math>dM = \frac{4 \pi x^2 dx}{\frac{4}{3} \pi R^3} M = \frac{3Mx^2 dx}{R^3}</math>
因此
:<math>F_{total} = \frac{3GMm}{r^2 R^3} \int_{0}^{R} x^2 dx = \frac{GMm}{r^2}</math>
即實心球對外部物體的重力貢獻如同將所有質量集中於球心。

=== 球體之內的重力 ===
球內重力情形可直接由球外重力''F<sub>r</sub>''改變''s''之積分上下界推得，即自''R - r''積分至''R + r''，各參數的示意圖如下所示。
[[File:Shell-diag-2.png|300px|无框|居中|Shell-diag-2]]
所以薄球殼對內部物體的重力貢獻為
:<math>F_r = \frac{GMm}{4r^2 R} \left( s- \frac{r^2 - R^2}{s} \right)_{R-r}^{R+r} = 0.</math>
即球內物體不受外球殼(無論厚薄)的重力影響。

注意，這邊的計算係積分質點''m''外的球殼(即''R'' > ''r'')，當''R'' < ''r''，即回到球體之外的重力情況。
若質點''m''在實心球內，只有半径小于''r''的那部分球体质量对质点''m''有净力作用，半径大于''r''的那部分球壳对''m''产生的重力场为0。小于 ''r'' 那部分球体的质量为
:<math>M_r = \frac{r^3}{R^3} M .</math>
距离球心''r''处的重力场为
:<math>g = \frac{GM_r}{r^2} = \frac{GMr}{R^3} .</math>
质点''m''受到这个实心球体产生的重力为
:<math>F = \frac{GMmr}{R^3} = kr .</math>
''k''是一个常数， <math>k = \frac{GMm}{R^3} </math>。


'''推廣：'''假設質點重力的形式為<math>k/r^p</math>，那麼球殼內的重力為
:<math>F_r = \frac{GMm}{4r^2 R} \int_{R-r}^{R+r} \left( \frac{1}{s^{p-2}} + \frac{r^2 -R^2}{s^p}\right)ds</math>
上式只有當<math>p = 2</math>時，''F<sub>r</sub>''才會等於0。
同樣地，在球殼外的重力為
:<math>F_r = \frac{GMm}{4r^2 R} \int_{r-R}^{r+R} \left( \frac{1}{s^{p-2}} + \frac{r^2 -R^2}{s^p}\right)ds</math>

== 參考文獻 ==
<references />

[[Category:萬有引力]]
[[Category:理論物理]]
[[Category:數學物理]]