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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[数学]]中，某个[[序列]]<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> 的'''母函数'''（又称'''生成函数'''，{{lang-en|Generating function}}）是一种[[形式幂级数]]，其每一项的[[系数]]可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为'''母函数方法'''。

母函数可分为很多种，包括'''普通母函数'''、'''指数母函数'''、'''L级数'''、'''贝尔级数'''和'''狄利克雷级数'''。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

母函数的表示一般使用[[解析解|解析形式]]，即写成关于某个形式变量''x''的形式幂级数。对幂级数的[[幂级数|收敛半径]]中的某一点，可以求母函数在这一点的[[无穷级数|级数和]]。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个''x''的值都存在。

母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位，而且已成为组合数学中一种重要方法。此外，母函数在有限[[差分]]计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。

注意母函数本身并不是一个从某个[[定义域]]射到某个[[上域]]的函数，名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。

==历史==
[[瑞士]][[数学家]][[雅各布·伯努利]]在考虑“当投掷n粒骰子时，加起来点数总和等于m的可能方式的数目”这个问题时首先使用了母函数方法，并得出可能的数目是<math>(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n</math>的展开式中<math>x^m</math>项的系数。之后[[欧拉]]在研究[[自然数]]的分解时也使用了母函数方法并奠定了母函数方法的基础。1812年，[[法国]][[数学家]][[拉普拉斯]]在著作《概率的分析理论》的第一卷中系统地研究了母函数方法及与之有关的理论。

==定义==
{{Cquote|母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。|赫伯特·维尔夫<ref>{{cite book |author=赫伯特·维尔夫（Herbert S. Wilf） |authorlink= |coauthors= |title=母函数理论 |year=1994 |publisher=Academic Press |location= |isbn= |url=http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html}}</ref>}}

===普通母函数===

普通母函数就是最常见的母函数。一般来说，序列<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>的母函数是：

:<math>G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n</math>

如果<math>a_n</math> 是某个[[离散随机变量]]的[[概率质量函数]]，那么它的母函数被称为一个[[概率母函数]]。

多重下标的序列也可以有母函数，例如序列<math>(a_{m,n})_{m \in \mathbb{N},n \in \mathbb{N}}</math> 的母函数是

:<math>G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n</math>。

===指数母函数===

序列<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>的指数母函数是：

:<math>EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>

===泊松母函数===

序列<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>的[[泊松]]母函数是：

:<math>PG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!}</math>

===L级数===

序列<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>的L级数是：

:<math>LG(a_n;x)=\sum _{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^n}{1-x^n}</math>

注意这里的下标 ''n'' 从1 而不是0 开始。

===贝尔级数===

关于[[算术函数]] :<math>f(n)</math> 和 <math>p</math> 的贝尔级数是：

:<math>f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n</math>

===狄利克雷级数母函数===

[[狄利克雷级数]]经常被用作母函数，尽管实际上狄利克雷级数并不是严格意义上的形式幂级数。序列<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>的狄利克雷级数母函数是：

:<math>DG(a_n;s)=\sum _{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math>

当 <math>a_n</math> 是[[积性函数]]时狄利克雷级数比较有用，因为这时的母函数可以写成一系列贝尔级数的[[欧拉积]]：

:<math>DG(a_n;s)=\prod_{p} f_p(p^{-s})\,</math>

如果 <math>a_n</math>是[[狄利克雷特征]]，那么它对应的狄利克雷级数母函数被称为[[狄利克雷L函數|狄利克雷L函数]]。

==一般母函数==
===求和===
<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n =\frac{1}{1-x}</math>用于[[等比数列]][[求和]]或推导级数<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n^m x^n</math>。
===不定方程的解数===
<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} x^n=\frac{1}{(1-x)^{k+1}}</math>用于求解[[一次不定方程]]的解数，类似[[隔板法]]。

对于非负整数<math>x_1,x_2,...,x_k</math>，<math>x_1+x_2+...+x_k=n</math>有<math>\binom{n+k-1}{k-1}</math>个解：

:<math>\displaystyle \frac{1}{(1-x)^k}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k-1} x^n</math>

对于非负整数<math>x_1,x_2,...,x_k</math>，<math>x_1+2x_2+2x_3=m</math>有<math>\binom{[\frac{m}{2}]+2}{2}</math>个解：

:<math>\displaystyle \frac{1}{(1-x)(1-x^2)^2}=\frac{1+x}{(1-x^2)^3}=(1+x)\sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2}x^{2n}+\binom{n+2}{2} x^{2n+1}</math><ref>{{cite journal|author=王迪吉 高福康 段芳|year=2008|title=关于不定方程的整数解及其解数的讨论|journal=新疆师范大学学报(自然科学版)|issue=3|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XJSZ200803005.htm}}</ref>

==参考来源==
{{Reflist}}

[[Category:序列]]
[[Category:组合数学]]
[[Category:概率论]]