查看“比值审敛法”的源代码

{{unreferenced|time=2014-11-27T19:40:50+00:00}}
{{无穷级数}}
'''比值审敛法'''是判别[[级数]]敛散性的一种方法，又称为'''[[达朗贝尔]]判别法'''（{{lang|en|D'Alembert's test}}）。

== 定理 ==
设<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>为正项级数，其中每一項皆為非 0 的實數或複數，如果

<math>\lim_{n \to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho</math>，

*当ρ<1时级数收敛
*当ρ>1时级数发散
*当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

== 例子 ==

=== 收敛 ===

考虑级数

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}</math>

:<math>\begin{align}
   \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}                  {a_n}                   \right|
&= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}      {\frac{n}{e^n}}         \right|\\
&= \lim_{n\to\infty} \left|       \frac{n+1}{e^{n+1}}  \cdot \frac{e^n}{n}          \right|\\
&= \lim_{n\to\infty} \left|       \frac{n+1}{n}        \cdot \frac{e^n}{e^n\cdot e} \right|\\
&= \lim_{n\to\infty} \left| \left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{e}            \right|\\
&= 1\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{e} < 1.
\end{align}</math>

因此该级数收敛。

=== 发散 ===

考虑级数

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}</math>

:{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>
|=<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|</math>
|-
|
|=<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right|</math>
|-
|
|=<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right|</math>
|-
|
|=<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e\right|</math>
|-
|
|=<math>1\cdot e</math>
|-
|
|=<math>\!\, e (>1)</math>
|}

因此该级数发散。

=== 不能确定 ===

级数
:<math>\sum_{n=1}^\infty 1</math>

发散，但 

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.</math>

而级数

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} </math>

收敛，但

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.</math>

== 参见 ==
*[[根值审敛法]]
*[[比较审敛法]]

[[Category:级数]]
[[Category:审敛法]]

[[it:Criteri di convergenza#Criterio del rapporto (o di d'Alembert)]]