查看“波前集”的源代码

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在数学分析中，特别是[[微局部分析]]中，一个[[分布]] <math> f </math> 的波前集 <math> \text{WF}(f) </math> 在[[奇异支集]] <math> \text{singsupp}(f) </math> 的基础上进一步刻画了 <math> f </math> 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由
[[拉尔斯·霍尔曼德尔]]在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在[[超函数]]上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由[[佐藤干夫]]引入。

==定义==
在欧式空间的一个区域 <math>X\subset\mathbb{R}^n</math> 中，一个分布 <math>u\in\mathcal{D}'(X)</math> 在一个点 <math>x\in X</math> 处的奇异纤维 <math>\Sigma_x(u)</math>，作为 <math>\mathbb{R}^n\setminus\{0\}</math>的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换，<math>\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}</math> 不属于 <math>\Sigma_x(u)</math> 当且仅当存在紧支集光滑函数 <math>\phi\in C_0^\infty(X)</math> 以及 <math>\xi</math> 的一个锥邻域（在正实数乘法下不变） <math>\Gamma</math> 使得 <math>\phi(x)\neq0</math>，并且在 <math>\Gamma</math> 中有如下估计：对于任意正整数 <math>N</math>，存在正常数 <math>C_N</math> 使得

:<math>|\widehat{(\phi u)}(\eta)| \leq C_N(1+|\eta|)^{-N} \;\;\;\forall\;\eta\in\Gamma.</math>

（我们经常将这个估计写为<math>|\widehat{\phi u}(\eta)|=O(\langle\eta\rangle^{-\infty})</math>。）

<math>f</math> 的波前集 <math>\text{WF}(u)</math> 定义为 

:<math>\text{WF}(u)=\{(x,\xi)\in\mathbb{R}^n\times(\mathbb{R}^n\setminus\{0\}):\xi\in\Sigma_x(u)\}.</math>

由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形 <math>X</math> 上的分布 <math>f</math> 的波前集 <math>\text{WF}(f)</math> 为余切丛去掉零截面 <math>T^\ast X\setminus0</math> 的一个锥子集。

如果 <math>B:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)</math>有Schwarz核 <math>K_B\in\mathcal{D}'(Y\times X)</math>，定义

:<math>\text{WF}'(B)=\{(y,\eta,x,\xi)\in T^\ast Y\times T^\ast X:(y,\eta, x,-\xi)\in\text{WF}(K_B).</math>

对于拟微分算子 <math>A\in\Psi^m(X)</math>， 可以验证 <math>\text{WF}'(A)</math> 包含于 <math>(T^\ast X\setminus0)\times(T^\ast X\setminus0)</math> 的对角线 <math>\Delta(T^\ast X\setminus0)=\{(x,\xi,x,\xi):(x,\xi)\in T^\ast X\setminus0\}</math>中。并且如果我们定义 <math>\text{WF}(A)\subset T^\ast X\setminus0</math> 如下：<math>(x_0,\xi_0)\not\in\text{WF}(A)</math> 当且仅当在<math>(x_0,\xi_0)</math>的一个锥邻域中，<math>A</math> 的象征满足估计 

:<math>\sigma(A)(x,\xi)=O(\langle\xi\rangle^{-\infty}) </math>

那么我们有 <math>(x,\xi)\in\text{WF}(A)</math> 当且仅当 <math>(x,\xi,x,\xi)\in\text{WF}'(A)</math>。

===等价定义===
Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用：<math>\text{WF}(u)</math> 是所有满足如下性质的点 <math>(x,\xi)</math>在<math>T^\ast X\setminus0</math> 中的补集：
存在 <math>(x,\xi)</math> 的锥邻域 <math>\Gamma</math> 使得对于任意的满足 <math>\text{WF}(A)\subset\Gamma</math> 的拟微分算子 <math>A\in\Psi^0(X)</math>， 有 <math>Au\in C^\infty</math>。

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

==性质==

（1） 如果记 <math>\pi:T^\ast X\setminus0\to X</math> 为余切丛上自然投影，则 <math>\pi(\text{WF}(u))=\text{sing supp}(u)</math>。

（2） 对于拟微分算子 <math>A\in\Psi^m</math>， <math>\text{WF}(Au)\subset\text{WF}(A)\cap\text{WF}(u)</math>。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子<math>a(x,D)</math>，<math>\text{WF}(a(x,D)u)\subset\text{WF}(u)</math>。

（3） 如果 <math>f:X\to Y</math> 是一个光滑映射，记 <math>N_f=\{(f(x);\eta)\in T^\ast Y, {}^Tf(x)'\eta=0\}</math> 为 <math>f</math> 的法丛。如果 <math>u\in\mathcal{D}'(Y)</math>满足 <math>\text{WF}(u)\cap N_f=\emptyset</math>，那么我们可以“唯一的”定义 <math>u</math> 在 <math>f</math> 下的拉回 <math>f^\ast u\in\mathcal{D}'(X)</math>。并且我们有 <math>\text{WF}(f^\ast u)\subset f^\ast\text{WF}(u)</math>。 特别的，如果 <math>f</math> 是一个微分同胚，<math>\text{WF}(f^\ast u)=f^\ast\text{WF}(u)</math>。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

（4）令 <math>B:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y) </math> 如果将 <math>\text{WF}'(B)</math> 视作从 <math>T^\ast X</math> 到 <math>T^\ast Y</math> 的一个关系，并且记
<math>\text{WF}'_X(B)=WF'(B)^{-1}(0_Y),\;\;\text{WF}'_Y(B)=WF'(B)(0_X)</math>。这里<math>0_X</math>和<math>0_Y</math>分别是<math>X</math>和<math>Y</math>上余切丛的零截面。则如果 <math>u\in\mathcal{D}'(X)</math>满足 <math>\text{WF}(u)\cap\text{WF}'_X(B)=\emptyset</math>，那么我们可以“唯一的”定义<math>Bu\in\mathcal{D}'(Y)</math>。并且我们有 <math>\text{WF}(Bu)\subset\text{WF}'(B)(\text{WF}(u))\cup\text{WF}'_Y(B)</math>。

（5）如果 <math>A:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)</math> 和 <math> B:C_0^\infty(Y)\to\mathcal{D}'(Z)</math> 满足 <math>\text{WF}'_Y(A)\cap\text{WF}'_Y(B)=\emptyset</math>，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 <math>B\circ A:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Z)</math>。并且我们有
:<math>\text{WF}'(B\circ A)\subset(\text{WF}'_Z(B)\times(0_X))\cup(0_Z\times\text{WF}'_X(A))\cup(\text{WF}'(B)\circ\text{WF}'(A))</math>
这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

==例子==
===<math>\delta</math>函数===
===振荡积分===
===余法分布===
===拉格朗日分布===

==应用==
===分布的运算===
===拟微分算子与微局部化===
===奇异性的传播===

==推广==
以上所定义的波前集描述的是分布的关于 <math> C^\infty</math> 正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 <math>\text{WF}_A</math>，关于Gevery类 <math>G^s</math> 的波前集，关于Sobolev空间 <math>H^s</math> 的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。

==参考来源==
* [[Lars Hörmander]], ''Fourier integral operators I'', Acta Math. '''127''' (1971), pp.&nbsp;79-183.
*{{citation|last=Hörmander|first=Lars|authorlink=Lars Hörmander|pages=251–279|title=The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis|edition=2nd|publisher=Springer|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume= 256|year=
1990|id=ISBN 0-387-52345-6}} Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities