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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{distinguish|波函数}}

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 | image1 = Wave equation 1D fixed endpoints.gif
 | caption1 = 根据波动方程的建模，一个[[脉冲]]在一根固定两端的绳子上的运动。
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 | caption2 = 从一个点源发散出的球面波
 | image3 = 2D Wave Function resize.gif
 | caption3 = 二维波动方程的一个解
 }}
'''波动方程'''或稱'''波方程'''（{{lang-en|'''wave equation'''}}）是一种重要的[[偏微分方程]]，主要描述[[自然界]]中的各种的[[波动]]现象，包括横波和纵波，例如[[声音|声]]波、[[光]]波、[[无线电波]]和[[水]]波。波动方程抽象自[[声学]]、[[物理光学]]、[[电磁学]]、[[电动力学]]、[[流体力学]]等领域。

历史上许多科学家，如[[达朗贝尔]]、[[欧拉]]、[[丹尼尔·伯努利]]和[[拉格朗日]]等在研究[[乐器]]等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。<ref>[http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/vibration.pdf {{cite journal|last1= Cannon |first1=John T.|last2=Dostrovsky|first2=Sigalia|title=The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742|year=1981|volume=  6|series=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|ISBN= 0-3879-0626-6|publisher=Springer-Verlag|location=New York|pages=ix + 184 pp.}}] {{cite journal|last= GRAY|first=JW|title=BOOK REVIEWS |journal=BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY |date=July 1983 |volume= 9| issue = 1}} (retrieved 13 Nov 2012).</ref><ref>Gerard F Wheeler. [http://www.scribd.com/doc/32298888/The-Vibrating-String-Controversy-Am-J-Phys-1987-v55-n1-p33-37 The Vibrating String Controversy,] (retrieved 13 Nov 2012).  Am. J. Phys., 1987, v55, n1, p33-37.</ref><ref>For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see [http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings] (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.</ref><ref>For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult [http://books.google.co.uk/books?id=D8GqhULfKfAC&pg=PA18&lpg=PA18&dq=lagrange+paper+on+the+wave+equation&source=bl&ots=E-RPop_GGD&sig=aJ41g1nlDTDKUqvw9OAXFjjutV4&hl=en&sa=X&ei=KCPEUMaOCI2V0QXz5YC4DQ&ved=0CDQQ6AEwAQ#v=onepage&q=lagrange%20paper%20on%20the%20wave%20equation&f=false Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications] Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)</ref>  1746年，达朗贝尔发现了一维波动方程，欧拉在其后10年之内发现了三维波动方程。<ref name=Speiser>Speiser, David.  ''[http://books.google.com/books?id=9uf97reZZCUC&pg=PA191 Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800]'', p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).</ref>

== 简介 ==
波动方程是[[双曲形偏微分方程]]的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置''x''和时间''t''的标量函数''u''（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u </math>
这里'''c'''通常是一个固定[[常数]]，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中''c''为343米/秒（参见[[音速]]）。在弦振动问题中，''c''依不同弦的[[密度]]大小和轴向[[张力]]不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。

其他形式的波动方程还能在[[量子力学]]和[[广义相对论]]理论中用到。

==标量形式的一维波动方程==

===波动方程的推导===
一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为''m''的小质点，相邻质点间用长度''h''的弹簧连接。弹簧的[[弹性系数]]（又称“倔强系数”）为''k''：
:[[Image:array of masses.svg|300px]]

其中''u''(''x'')表示位于''x''的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于''x+h''处的质点''m''上的力为：
:<math>F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}</math>

:<math>F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]</math>

其中<math>F_{Newton}</math>代表根据[[牛顿第二定律]]计算的质点[[惯性力]]，<math>F_{Hooke}</math>代表根据[[胡克定律]]计算的弹簧作用力。所以根据[[分析力学]]中的[[达朗贝尔原理]]，位于''x+h''处质点的运动方程为：

:<math>m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]</math> 

式中已注明''u''(''x'')是时间''t''的[[显函数]]。

若''N''个质点间隔均匀地固定在长度''L'' = ''N h''的弹簧链上，总质量''M'' = ''N m''，链的总体[[劲度系数]]为''K'' = ''k''/''N''，我们可以将上面的方程写为：

:<math>{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}</math>
 
取极限   ''N'' <math>\rightarrow \infty </math>, ''h''<math>\rightarrow 0</math>就得到这个系统的波动方程：

:<math> {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }  </math>

在这个例子中，波速<math>c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}</math>。

===一般解===
==== 代数方法 ====
一维标量形式波动方程的一般解是由[[达朗贝尔]]给出的。原方程可以写成如下的算子作用形式：

:<math> \left[ \frac{\partial}{\partial t} - c\frac{\partial}{\partial x}\right] \left[ \frac{\partial}{\partial t} + c\frac{\partial}{\partial x}\right] u = 0.\,</math> 

从上面的形式可以看出，若''F''和''G''为任意函数，那么它们以下形式的组合 
:<math>u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) \,</math>  

必然满足原方程。上面两项分别对应两列[[行波]]——''F''表示经过该点（''x''点）的右行波，''G''表示经过该点的左行波。为完全确定''F''和''G''的最终形式还需考虑如下初始条件： 

:<math>u(x,0)=f(x) \,</math>
:<math>u_t(x,0)=g(x) \,</math>

经带入运算，就得到了波动方程著名的'''达朗贝尔行波解'''，又称[[达朗贝尔公式]]：

:<math>u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds</math>

在经典的意义下，如果<math>f(x) \in C^k</math>并且<math>g(x) \in C^{k-1}</math>则<math>u(t,x) \in C^k</math>。但是，行波函数''F''和''G''也可以是[[广义函数]]，比如[[狄拉克δ函数]]。在这种情况下，行波解应被视作左行或右行的一个[[脉冲]]。

基本波动方程是一个[[线性微分方程]]，也就是说同时受到两列波作用的点的振幅就是两列波振幅的相加。这意味着可以通过把一列波分解成它的许求解中很有效。此外，可以通过将波分离出各个分量来分析，例如傅里叶变换可以把波分解成正弦分量。

==标量形式的三维波动方程==
[[File:Leonhard Euler 2.jpg| thumb|right|瑞士数学家和物理学家[[萊昂哈德·歐拉]]（b. 1707）发现了三维空间中的波动方程。<ref name=Speiser />]]
三维波动方程初值问题的解可以通过求解球面波波动方程得到。求解结果可用于推导二维情况的解。 

===球面波===
球面波方程的形式不随空间坐标系统的转动而变化，所以可以将它写成仅与距源点距离''r''相关的函数。方程的<U>三维</U>形式为：

:<math> u_{tt} - c^2 \left( u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,</math> 

将方程变形为： 

:<math> (ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,</math> 

此时，因变量''ru''满足一维波动方程，于是可以利用达朗贝尔行波法将解写成：

:<math> u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,</math> 

其中''F''和''G''为任意函数，可以理解为以速度''c''从中心向外传播的波和从外面向中心传播的波。这类从点源传出的波强度随距点源距离''r''衰减，并且属于'''无后效波'''，可以清晰地搭载[[信号]]。这种波仅在[[奇数]]维空间中存在（原因将在下一小节中详细解释）。幸运的是，我们生活的空间是三维的，所以我们可以清晰地通过声波和电磁波（都属于球面波）来互相交流。

====時間箭頭的討論====
上面方程的解裏面，分成了兩部分，一部分表示向外傳播的波，一部分則是向内。很明顯，只要將t換成-t，就可以在這兩部分之間轉換。這體現了原始方程對於時間是對稱的，任意的一個解在時間軸上倒過來看仍然是一個解。

然而，我們所觀察到的實際的波，都是屬於向外傳播的。除非精心地加以調整，我們無法在自然界觀察到向内的波，儘管它們也是波動方程的合法的解。

關於這個現象，引起了不少討論。有人認爲，實際上它們即使存在，也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個物體集中，則因爲沒有光到達我們的眼睛，我們不可能看見這個物體或者發現這個現象（见[[波动方程#参考文献|参考文献[2] ]]）。

===广义初值问题的解===

波动方程中''u''是线性函数，并且不随时间和空间坐标的平移而改变。所以我们可以通过平移与叠加球面波获得方程各种类型的解。令φ(ξ,η,ζ)为任意具有三个自变量的函数，球面波形''F''为[[狄拉克δ函数]]（数学语言是：''F''是一个在全空间积分等于1且非零区间收缩至原点的连续函数的[[弱极限]]）。设(ξ,η,ζ)位一族球面波的源点，''r''为距源点的径向距离，即：

:<math> r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,</math> 

可定义
:<math>U(t,x,y,z;\xi ,\eta ,\zeta ) = \frac{{\delta (r - ct)}}{{4\pi cr}}</math> 

称为三维波动方程的'''影响函数'''，其意义为(ξ,η,ζ)点在''t''=0时刻受到短促脉冲δ函数作用后向空间中传出的波的影响，系数[[分母]]4πc是为方便后续处理而加上的。

若''u''是这一族波函数的加权叠加，且[[权函数]]为φ，则

:<math> u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \,</math> 

从δ函数的定义可知，''u''还能写成

:<math> u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \,</math> 

式中α、β和γ是单位球面''S''上点的坐标，dω为''S''上的面积微元。该结果的意义为：''u''(''t'',''x'',''y'',''z'')是以(''x'',''y'',''z'')为圆心，''ct''为半径的球面上φ的平均值的''t''倍：

:<math> u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \,</math> 

从上式易得 

:<math> u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \,</math> 

平均值是关于''t''的[[偶函数]]，所以若

:<math> v(t,x,y,z) = \frac{\partial}{\partial t} \left( t M_{ct}[\psi] \right), \,</math> 

那么 
:<math> v(0,x,y,z) =  \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \,</math> 

以上得出的便是波动方程初值问题的解。从中可以看出，任意点''P''在''t''时刻受到的波扰动只来自以''P''为圆心，''ct''为半径的球面上，而这个球的内部点<U>在这一时刻</U>对''P''点的状态完全没有影响（因为它们的影响之前就已经传过''P''点了）。换一个角度分析，假设三维空间中任意点''P' ''在''t''=0时刻受到一个脉冲扰动δ，那么由此发出的球面波在传过空间中的任意其它点''Q''后，便再也不会对''Q''的运动状态产生影响，这就是在物理学中也非常著名的'''惠更斯原理'''（Huygens' principle），也称为'''无后效现象'''，表示传过的球面波不会留下任何后续效应。

下面我们便可以解释上一小节中留下的问题了。事实上，前面所得到的球面波解仅在奇数维空间中存在。偶数维空间中波动方程的解是<U>弥散的</U>，也就是说[[波阵面]]掠过区域仍然会受其影响。以下面的二维波动方程（[[极坐标]]形式，注意和上一小节三维形式的差别）为例：
:<math>u_{tt}  - c^2 (u_{rr}  + \frac{1}{r}u_r ) = 0</math>

可以从三维形式的解通过[[降维法]]得到二维波动方程的影响函数：
:<math>U(t,x - \xi ,y - \eta )=\begin{cases} \frac{1}{{2\pi c}}\frac{1}{{\sqrt {c^2 t^2  - r^2 } }}, & r \le ct \\ 0, & r > ct \end{cases}</math>
其中
:<math>r = \sqrt {(x - \xi )^2  + (y - \eta )^2 } </math>
设点''M''(''x'',''y'')到点(ξ,η)距离为''d''，那么从影响函数中可以看出，当''t'' >''d'' /''c''即初始扰动已传过''M''点后，''M''仍在受到它的影响。二维球面波（柱面波）的这一性质决定了它不能作为传递信号的工具，因为这种波（事实上包括所有偶数维空间中的球面波）经过的点受到的是交织在一起的各个不同时刻的扰动。

==标量形式的二维波动方程==

二维波动方程的直角坐标形式为：

:<math> u_{tt} = c^2 \left( u_{xx} + u_{yy} \right). \,</math> 

如前所述，我们可以从三维波动方程的解中将''u''视为与其中一个自变量无关（降维法）来得到二维形式的解。将初始条件改写为

:<math> u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,</math>

则三维形式的解就变成

:<math> u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\,</math> 

其中α和β是单位球面上点的头两个[[坐标]]分量，dω是球面上的面积微元。此积分可变换为在(''x'',''y'')为中心，''ct''为半径的圆域''D''上的积分：

:<math> u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \,</math> 

从这个结果也能得到上一小节最后的结论。

二维波动方程解的一个例子是紧绷的鼓面的运动。

==边值问题==

===一维情形===
一根自身绷紧，两端分别固定于''x''=''0''和''x''=''L''的弹性弦在''t''>0时刻，0 < ''x'' < ''L''上运动满足波动方程。在边界点处，可以要求''u''满足各种[[边界条件]]。通常遇到的边界条件都可归纳成下列形式：

:<math> -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,</math> 

:<math> u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,</math> 

其中''a''、''b''非负。若要弦的两端固定不动，对应上面式子中''a''、''b''趋于[[无穷大]]。求解偏微分方程的[[分离变量法]]要求寻找以下形式的解：

:<math> u(t,x) = T(t) v(x).\,</math> 

将上述假设形式代入原方程中可以得到： 
:<math> \frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,</math> 

为使边值问题有'''非平凡解'''，[[本征值]]λ须满足

:<math> v'' + \lambda v=0, \,</math> 

:<math> -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,</math> 

这是固有值问题的[[斯图姆-刘维尔理论]]的一个特例。若''a''、''b''为正数，则对应的所有本征值均为正数，方程的解为[[三角函数]]。使''u''和''u<sub>t</sub>''满足[[平方可积]]条件的解可以通过适当选取''u''和''u<sub>t</sub>'' [[三角级数]]展开来求得。

===多维情形===
一维初始值-边值理论可以拓展至任意维空间中。考虑''m''维空间（坐标简写为''x''）中的域''D''，''B''为''D''的边界。当0<''t''时，位于''D''内的点''x''满足波动方程。在''D''的边界上，解''u''须满足

:<math> \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,</math> 

其中''n''是''B''上指向域外的法向矢量，''a''是定义在''B''上的非负函数。要求''u''在''B''上始终为0的边界条件相当于令''a''趋于无穷。初始条件为

:<math> u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,</math> 

其中''f''和''g''是定义在''D''内的函数。这个问题可以通过将''f''和''g''展开成域''D''内[[拉普拉斯算子]]满足[[边界条件]]的[[本征函数]]系的叠加来求解（这是[[分离变量法]]的一般步骤）。也就是求解在域''D''内满足

:<math> \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,</math> 

在边界''B''上满足

:<math>  \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,</math> 

的本征函数系''v''。

在二维情形下，上述本征函数系可以理解成绷紧地张在边界''B''上的鼓面的自由[[振动模态]]。若''B''是一个圆，则这些本征函数是关于极角自变量''θ''的[[三角函数]]与关于极轴自变量''r''的整阶[[贝塞尔函数]]的乘积。更详细的说明参见英文版条目[[w:Helmholtz equation|亥姆霍兹方程]]。

在三维形式下，若边界是空间中的球面，那么本征函数是关于球坐标下两个极角自变量的[[球面调和函数]]，乘以关于径向自变量''ρ''的半奇数阶[[贝塞尔函数]]。

== 进一步推广 ==
在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的[[频率]]变化的量，这种处理对应真实[[物理]]世界中的[[色散]]现象。此时，''c''应该用波的[[相速度]]代替：

:<math>v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}</math>。

实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随[[振幅]]的变化，修正后的方程变成下面的'''非线性波动方程'''：

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2u </math>

另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量''u''的表达式将包含一个[[马赫]]因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。

'''三维波动方程'''描述了波在[[均匀体|均匀]][[各向同性]][[弹性]]体中的传播。绝大多数[[固体]]都是弹性体，所以波动方程对[[地球]]内部的[[地震波]]和用于检测[[固体材料]]中[[固体缺陷|缺陷]]的[[超声波]]的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的<U>纵波</U>和<U>横波</U>:

:<math>\rho \ddot {\mathbf{u}} = \mathbf{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})</math>

式中：

* <math>\lambda</math>和<math>\mu</math>被称为弹性体的[[拉梅常数]]（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants或Lamé moduli），是描述[[各向同性]]固体弹性性质的参数； 
* <math>\rho</math>表示[[密度]]； 
* <math>\mathbf{f}</math>是源函数（即外界施加的激振力）； 
* <math>\mathbf{u}</math>表示位移；  
注意在上述方程中，激振力和位移都是[[矢量]]，所以该方程也被称为'''矢量形式的波动方程'''。

==註釋==
<references />
==参考文献==
*严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，第210页~第224页，ISBN 7-312-00799-6
*[英]胡·普賴斯著，肖巍譯，《時間之矢與阿基米德之點—物理學時間的新方向》，上海科學技術出版社，上海，2001，ISBN 7-5323-5737-6
*M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, ''Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I'', Acta Math., 124 (1970), 109–189. 
*M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, ''Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II'', Acta Math., 131 (1973), 145–206.
*R. Courant, D. Hilbert, ''Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.

==参看==
*[[声波方程]]
*[[光波方程]]
*[[电磁波方程]]
*[[马达变量]]
*[[多普勒效应]]
*[[电磁学]]
*[[光]]
*[[光学]]
*[[位相]]
*[[薛定谔方程]]
*[[声]]
*[[彼得羅夫斯基空白]]

==外部链接==
*[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/wave-toc.pdf 线性波动方程]，在EqWorld上：数学方程的世界。
*[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc2.pdf 非线性波动方程]，在EqWorld上：数学方程的世界。
*[http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m201.pdf <small>MISN-0-201</small>波动方程及其解]（[[PDF]]）William C. Lane为[http://www.physnet.org Project PHYSNET]所著

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