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'''波莱尔－坎泰利引理'''是[[概率论]]中的一个基本结论。大致上，波莱尔－坎泰利[[引理]]说明了，如果有[[无穷]]个[[事件 (概率论)|概率事件]]，它们发生的概率之和是有限的，那么其中的无限多个事件一同发生的[[概率]]是零。这个定理实际上是[[测度论]]的结论在概率论中的应用，得名于[[数学家]][[埃米尔·波莱尔]]与[[弗朗西斯科·保罗·坎泰利]]。

==概率空间中的定理==

设<math>E_n</math>为某个[[概率空间]]中的一个事件序列。波莱尔－坎泰利引理说明：
如果所有的事件<math>E_n</math>发生的概率<math>\mathbb{P}</math>的总和是有限的，

:<math>\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n)<\infty,</math>

那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零：

::<math>\mathbb{P} \left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = 0\,</math>

其中的<math> \limsup \,</math>是指一个事件序列的[[上极限]]。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合，所以<math> \limsup E_n \,</math>就是指使得序列<math>E_n(\omega)</math>里面有无限多个事件一起发生的結果（outcome，或稱[[概率空間|樣本輸出]]）<math>\omega</math>的集合。准确来说，

:<math>\limsup_{n\to\infty} E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k</math>。

==证明==

设(''E''<sub>''n''</sub>)是某个[[概率空间]]里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的： 

:<math>\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n)<\infty</math>。

这等价于说，正项[[无穷级数]]<math>\left( \mathbb{P}(E_n) \right)_{n \ge 1}</math>收敛。所以，根据无穷级数的性质，级数的余项<math>\sum_{n=N}^\infty \mathbb{P}(E_n)</math>的下极限是0：

:<math> \inf_{N\geq 1} \sum_{n=N}^\infty \mathbb{P}(E_n) = 0. \, </math>

因此，
:<math>
 \mathbb{P}\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) =  \mathbb{P} \left(\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right)
\leq \inf_{N \geq 1}  \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right) \leq \inf_{N\geq 1} \sum_{n=N}^\infty  \mathbb{P}(E_n) = 0
</math><ref name="ucdavis">{{cite web|title=Romik, Dan. Probability Theory Lecture Notes, Fall 2009, UC Davis. |url=http://www.math.ucdavis.edu/~romik/teaching/lectures.pdf |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100614024007/http://www.math.ucdavis.edu/~romik/teaching/lectures.pdf |archivedate=2010-06-14 }}</ref>

==推广==

对于更一般的[[概率空间]]，波莱尔－坎泰利引理可以叙述如下：

:设μ是一个集合''X''上的[[测度]]，装备了[[σ-代数]]''F''。设(''A''<sub>''n''</sub>)为''F''中的一个序列。如果：

::<math>\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty </math>

:那么，

::<math>\mu\left(\limsup_{n\to\infty} A_n\right) = 0\,</math>
==参考来源==
{{reflist}}

* {{Springer|title=Borel–Cantelli lemma |id=B/b017040|first=A.V. |last=Prokhorov}}
* {{citation|author = Feller William|year=1961|title=An Introduction to Probability Theory and Its Application|publisher=John Wiley & Sons}}.
* {{citation|title=Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals|author = Stein Elias|year=1993|publisher=Princeton University Press}}.
* {{citation|first=F. Thomas|last=Bruss|year=1980|title=A counterpart of the Borel Cantelli Lemma|journal=J. Appl. Prob.|volume=17|pages=1094–1101}}.
* Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.

[[Category:测度论]]
[[Category:概率论]]
[[Category:引理]]