查看“洛朗级数”的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
}}
[[File:Laurent series.svg|frame|right|]]
在数学中，复变函数''f''(''z'')的'''洛朗级数'''（{{lang-en|'''Laurent series'''}}），是[[幂级数]]的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为[[泰勒级数]]，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由[[皮埃尔·阿方斯·洛朗]]在1843年首次发表并以他命名的。[[卡尔·魏尔斯特拉斯]]可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。<ref> {{citation|title=Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers|volume=245|series=Graduate Texts in Mathematics|first1=Rubi|last1=Rodriguez|first2=Irwin|last2=Kra|first3=Jane P.|last3=Gilman|publisher=Springer|year=2012|isbn=9781441973238|page=12|url=http://books.google.com/books?id=fZbf629lTy0C&pg=PA12}} 。</ref>

函数''f''(''z'')关于点''c''的洛朗级数由下式给出：

:<math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math>

其中''a<sub>n</sub>''是常数，由以下的[[曲線積分]]定义，它是[[柯西积分公式]]的推广：

:<math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,</math>

积分路径γ是位于[[环形|圆环]]''A''内的一条逆时针方向的[[可求长曲线]]，把''c''包围起来，在这个圆环内<math>f(z)</math>是[[全纯函数|全纯的]]（解析的）。<math>f(z)</math>的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。在右边的图中，该环用红色显示，其内有一合适的积分路径<math>\gamma</math> 。如果我们让<math>\gamma</math>是一个圆<math>|z-c| = \varrho</math> ，其中<math>r < \varrho < R</math> ，这就相当于要计算的限制到<math>\gamma</math>上<math>f</math>的复傅里叶系数。这些积分不随轮廓<math>\gamma</math>的变形而改变是[[斯托克斯定理]]的直接结果。

在实践中，上述的积分公式可能不是计算给定的函数<math>f(z)</math>系数<math>a_n</math>最实用的方法；相反，人们常常通过拼凑已知的泰勒展开式来求出洛朗级数。因为函数的洛朗展开式只要存在就是[[唯一量化|唯一]]的 ，实际上在圆环中任何与<math>f(z)</math>相等的，以上述形式表示的给定函数的表达式一定就是<math>f(z)</math>的洛朗展开式。

==收敛洛朗级数==

复系数洛朗级数是[[複分析]]中的一个重要工具，尤其在研究函数[[奇点]]附近的行为时。
[[File:Expinvsqlau SVG.svg|right|thumb|''e''<sup>&minus;1/''x''<sup>2</sup></sup>和洛朗近似：见文中解释。随着洛朗级数负次数的增长，图像接近正确的函数。]]
[[File:Expinvsqlau GIF.gif|right|thumb|''e''<sup>&minus;1/''x''<sup>2</sup></sup>和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。]]

考虑例如函数<math>f(x) = e^{-1/x^2}</math>，它的<math>f(0) = 0</math> 。作为实变函数，它是处处无穷可微的；但作为一个复变函数，在''x'' = 0处不可微。用&minus;1/''x''<sup>2</sup>替换[[指数函数]]的[[幂级数]]展开式中的''x''，我们得到其洛朗级数，对于除了奇点''X'' = 0以外的所有复数，它都收敛并等于''ƒ''(''x'')。旁边的图显示了对于''N'' = <span style="color:#b30000;">1</span>, <span style="color:#00b300;">2</span>, <span style="color:#0000b3;">3</span>, <span style="color:#b3b300;">4</span>, <span style="color:#00b3b3;">5</span>, <span style="color:#b300b3;">6</span>, <span style="color:#b3b3b3;">7</span>到<span style="color:#33b300;">50</span>，''e''<sup>&minus;1/''x''<sup>2</sup></sup>（黑色）和它的洛朗近似

:<math>\sum_{n=0}^N(-1)^n\,{x^{-2n}\over n!}.</math>

当''N'' → ∞，近似对除了奇点''x'' = 0处的所有复数''x''都很精确。

更一般地，洛朗级数可以用来表达定义在[[圆环]]上的[[全纯函数]]，就像[[幂级数]]被用于表达一个[[圆盘]]上定义全纯函数一样。

== 參看 ==
* [[Z轉換]]
* [[傅立葉級數]]
* [[帕德近似]]

==参考文献 ==
{{reflist}}

==外部链接==
* {{springer|title=Laurent series|id=p/l057690}}
* {{MacTutor Biography|id=Laurent_Pierre}}
* {{MathWorld | urlname=LaurentSeries | title=Laurent Series }}
* [https://web.archive.org/web/20061209225242/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/LaurentSeriesMod.html 洛朗级数的教程]

{{DEFAULTSORT:Laurent series}}
[[Category:复分析]]
[[Category:级数]]