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[[File:Measure illustration.png|thumb|通俗的说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而它是非负的）。]]

[[数学]]上，'''测度'''（{{lang-en|'''measure'''}}）是一个[[函数]]，它对一个给定[[集合 (數學)|集合]]的某些[[子集]]指定一个数，这个数可以比作大小、[[体积]]、[[概率]]等等。传统的[[积分]]是在[[区间]]上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在[[数学分析]]和[[概率论]]有重要的地位。

'''测度论'''是[[实分析]]的一个分支，研究对象有[[σ代数]]、测度、[[可测函数]]和[[积分]]，其重要性在[[概率论]]和[[统计学]]中都有所体现。

==定义==
<math>X</math>是個集合，定義在 <math>X</math>上的另一集合 <math>\mathcal{A}</math> ，<math>\mathcal A</math>中的元素是 <math>X </math>的子集合，而且是一個[[σ代数|{{math|σ}}-代數]]，测度 <math>\mu </math>（详细的说法是'''可數可加的正测度'''）是個定義在 <math>\mathcal A</math> 上的函数，于<math>[0,\infty]</math>中取值，且满足以下性质：<!--
在測度論裡，也有把外測度叫測度的，待補充-->

*'''非負性質'''：對所有的 <math>E\in \mathcal A</math>，有 <math>\mu(E)\ge 0</math>，
*'''空集合的测度为零'''：<math> \mu(\varnothing) = 0 </math>，

* '''可数可加性'''，或称 '''<math>\sigma</math>-可加性'''：若 <math>\{E_k\}_{k=1}^\infty</math> 为 <math>\mathcal{A}</math> 中可数个两两[[不交集|不相交]]元素的集合，換句話講，對所有 <math>E_i, E_j\in \{E_k\}_{k=1}^\infty</math>，<math>i\neq j</math> 有 <math>E_i\cap E_j=\varnothing </math>，則可得
:<math> \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</math>。 

这样的三元组<math>(X, \mathcal{A}, \mu)</math>称为一个'''测度空间'''，而<math>\mathcal{A}</math> 中的元素称为这个空间中的'''可测集合'''。

==性质==

下面的一些性质可从测度的定义导出：

===单调性===
测度<math>\mu\ </math>的[[单调性]]：
若<math>E_1\ </math>和<math>E_2\ </math>为可测集，而且<math> E_1 \subseteq E_2</math>，则<math> \mu(E_1) \leq \mu(E_2)</math>。

===可数个[[可测集]]的并集的测度===

若<math>E_1, E_2, E_3\cdots</math>为可测集（不必是两两不交的），则集合<math>E_n\ </math>的并集是可测的，且有如下不等式（「[[次可列可加性]]」）：
::<math> \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i) </math>
如果还满足并且对于所有的<math>n\ </math>，<math>E_n\ </math>⊆<math>E_{n+1}\ </math>，则如下[[扩充实数线#极限|极限式]]成立：
::<math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty}  \mu(E_i).</math>

===可数个[[可测集]]的交集的测度===
若<math>E_1,E_2,\cdots</math>为可测集，并且对于所有的<math>n\ </math>，<math>E_{n+1}\ </math>⊆<math>E_n\ </math>，则<math>E_n\ </math>的[[交集]]是可测的。进一步说，如果至少一个<math>E_n\ </math>的测度[[扩充实数线#定义|有限]]，则有极限：
::<math> \mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) </math>

如若不假设至少一个<math>E_n\ </math>的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个<math>n\in \mathbb{N}</math>，令
::<math> E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}</math>
这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

==<math>\sigma</math>-有限测度==
{{main|σ-有限测度}}

如果<math>\mu(X)\ </math>是一个有限实数（而不是<math>\infty</math>），则测度空间<math>(X, \mathcal{A}, \mu)</math>称为'''有限测度空间'''。非零的有限测度与[[概率测度]]类似，因为可以通过乘上比例因子<math>\frac{1}{\mu(X)}</math>进行归一化。如果<math>X\ </math>可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为'''<math>\sigma</math>-有限测度空间'''。如果测度空间中的一个集合<math>A\ </math>可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称<math>A\ </math>'''具有<math>\sigma</math>-有限测度'''。

作为例子，[[实数集]]赋以标准[[勒贝格测度]]是<math>\sigma</math>-有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑[[闭区间]][[集合#集合的其它名稱|族]][k, k+1]，k取遍所有的[[整数]]；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的[[计数测度]]，即对实数集的每个[[有限集|有限]]子集，都把元素个数作为它的测度，至于[[无限集|无限]]子集的测度则令为<math>\infty</math>。这样的测度空间就不是<math>\sigma</math>-有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要[[不可数]]个有限测度集。<math>\sigma</math>-有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，<math>\sigma</math>-有限性可以类比于[[拓扑空间]]的[[可分性]]。

==完备性==
对于一个可测集<math>N</math>，若<math>\mu(N)=0\ </math>成立，则称为'''零测集'''，其子集称为'''可去集'''。

一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测，则称该测度为'''完备测度'''。

一个测度可以按如下的方式[[延拓]]为完备测度：

考虑<math>X</math>的所有与某个可测集<math>E</math>仅差一个可去集的子集<math>F</math>，可得到<math>E</math>与<math>F</math>的[[对称差]]包含于一个零测集中。

由这些子集<math>F</math>生成的[[σ代数]]，并定义<math>\mu(F)=\mu(E)</math>，所得到的测度即为完备测度。

==例子==
下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。
* '''[[计数测度]]'''　定义为<math>\mu(S) = S\ </math>的「[[基数#定义|元素个数]]」。
* '''一维[[勒贝格测度]]'''是定义在<math>\mathbb{R}</math>的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、[[平移（数学）|平移]]不变的、满足<math>\mu([0,1])=1\ </math>的唯一测度。
* '''Circular angle测度'''是[[旋转（数学）|旋转]]不变的。
* [[拓撲群#和數學其他領域的關係|局部紧拓扑群]]上的'''[[哈尔测度]]'''是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
* '''恆零测度'''定义为<math>\mu(S) = 0\ </math>，对任意的<math>S\ </math>。
*每一个[[概率空间]]都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓'''[[概率测度]]'''。见[[機率#公理化定義|概率论公理]]。
其它例子，包括：[[狄拉克测度]]、[[波莱尔测度]]、[[若尔当测度]]、[[遍历测度]]、[[欧拉测度]]、[[高斯测度]]、[[贝尔测度]]、[[拉东测度]]。

== 相关条目 ==
* [[外测度]]（Outer measure）
* [[几乎处处]]（Almost everywhere）
* [[勒贝格测度]]（Lebesgue measure）

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* R. M. Dudley, 2002. ''Real Analysis and Probability''. Cambridge University Press.
* D. H. Fremlin, 2000. ''[https://web.archive.org/web/20070206212033/http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm Measure Theory]''. Torres Fremlin.
* [[Paul Halmos]], 1950. ''Measure theory''. Van Nostrand and Co.
* M. E. Munroe, 1953. ''Introduction to Measure and Integration''. Addison Wesley.
* Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. ''Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the [[Daniell integral]].
== 外部链接 ==
{{Authority control}}
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