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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[交換代數]]中， '''深度'''是[[交換環]]與[[模]]的一種不變量，它可以由'''正則序列'''定義，或以[[同調代數]]中的[[Ext函子]]刻劃。

==正則序列==
設 <math>R</math> 為[[交換環]]，<math>M</math> 為 <math>R</math>-模。若元素 <math>x \in R</math> 滿足 <math>\forall m \in M, \; xm=0 \Rightarrow m=0</math>（即：<math>x</math> 非 <math>M</math> 的零因子），則稱之為 '''<math>M</math>-正則元'''。

一組 '''M-正則序列'''是一個 <math>R</math> 中的有限序列 <math>(x_1, \ldots, x_d)</math>，使得對每個 <math>1 \leq i \leq d</math> 有
: <math>x_i</math> 為 <math>M/(x_0, \ldots, x_{i-1})</math>-正則元（置 <math>x_0 := 0</math>）

'''定理'''（Rees）：若 <math>(R,\mathfrak{m})</math> 是[[局部環|局部]][[諾特環]]，元素皆屬於 <math>\mathfrak{m}</math> 的正則序列之[[置換]]仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。

==深度==
假設同上，並固定一個[[理想 (環論)|理想]] <math>I \subset R</math>。定義<math>R</math>-模 <math>M</math> 的'''I-深度'''為元素皆屬於 <math>I</math> 的 <math>M</math>-正則序列的最大長度，記作 <math>\mathrm{depth}_I(M)</math>（在[[法文]]文獻中常記作 <math>\mathrm{prof}_I(M)</math>）。環 <math>R</math> 的 <math>I</math>-深度定義為 <math>\mathrm{depth}_I(R)</math>。

<math>\mathrm{depth}_I(M)</math> 亦可用[[Ext函子]]刻劃為使得 <math>\mathrm{Ext}^n(R/I,M) \neq 0</math> 的最小非負整數 <math>n</math>。

下列等式將深度問題化約到局部環的情形：
: <math>\mathrm{depth}_I(M) = \sup_{\mathfrak{p} \supset I} (M_\mathfrak{p})</math>

以下定理揭示了深度與[[射影維度]]的關係。

'''定理''' （Auslander-Buchsbaum）：設 <math>A</math> 為局部[[諾特環]]，<math>M</math> 為有限生成 <math>A</math>-模，而且其射影維度有限，則
: <math>\mathrm{pd}_A(M) + \mathrm{depth}_A(M) = \mathrm{depth}(A)</math>

==文獻==
* {{springer|id=D/d031180|title=Depth of a module|author=V.I. Danilov}}
* David Eisenbud, ''Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry''. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150.  ISBN 0-387-94268-8
* Winfried Bruns; Jürgen Herzog, ''Cohen-Macaulay rings''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1

{{ModernAlgebra}}

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[[Category:模論|S]]