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[[數學]]上，'''湯普森群'''（'''{{lang-en|Thompson groups}}'''）是[[理查德·湯普森 (數學家)|理查德·湯普森]]1965年在幾份未發表的手寫筆記中，提出的三個[[群]]，通常記為''F''⊂''T''⊂''V''。這三個群中受到最廣泛研究的是群''F''。有時湯普森群單單指群''F''。

這三個湯普森群有許多不尋常性質，當中尤以''F''為甚，因此成為了[[群論]]中不少猜想的反例。這三個群都是[[有限展示群|有限展示]]的無限群。''T''和''V''是罕有的無限但為有限展示的[[單群]]。''F''不是單群，但其[[換位子群]][''F'',''F'']是單群。''F''對換位子群的[[商群|商]]''F''/[''F'',''F'']是秩2的[[自由阿貝爾群]]。''F''是[[全序群]]，有[[增長率 (群論)|指數增長率]]，無子群同構於秩2[[自由群]]。

群''F''是否[[可均群]]的問題，爭議頗大，有兩方各執一端：E. Shavgulidze和Justin Moore各自發表預印論文，聲稱''F''是可均群；另外Azer Akhmedov和Leva Beklaryan也各自發表預印論文，聲稱''F''不是可均群。但是這些預印論文的證明隨後都發現有錯誤。至今難以猜測''F''是否可均群。<ref>{{cite web|url=http://mathoverflow.net/questions/26821/is-thompsons-group-f-amenable|title=Is Thompson's Group F amenable?|publisher=Mathoverflow|accessdate=2013-11-02}}</ref>

現時已知''F''不是[[初等可均群]]，假如''F''不是可均群，則會成為有限展示群的[[馮紐曼猜想]]的另一個反例。這個猜想指有限展示的非可均群都有子群同構於秩2自由群，自提出後多年未解，直至2003年才被推翻。

{{harvtxt|Higman|1974}}提出了一個以有限展示單群組成的無限族，湯普森群''V''是這個族中一個特例。

==展示==
群''F''的一個有限展示如下：

:<math>\langle A,B \mid\ [AB^{-1},A^{-1}BA] = [AB^{-1},A^{-2}BA^{2}] = \mathrm{id} \rangle</math>

其中[''x'',''y'']是[[換位子]]''xyx''<sup>−1</sup>''y''<sup>−1</sup>.

雖然''F''可表達為有兩個生成元及兩個關係元的有限展示，但用以下的無限展示較容易理解：

:<math>\langle x_0, x_1, x_2, \dots\ \mid\ x_k^{-1} x_n x_k = x_{n+1}\ \forall \ k<n \rangle.</math>

以上兩個展示間的關係為 ''x''<sub>0</sub>=''A'', ''x''<sub>''n''</sub> = ''A''<sup>1&minus;''n''</sup>''BA''<sup>''n''&minus;1</sup> 對''n''>0。

==其他表示==
[[File:AA Tree Skew2.svg|right|thumb|湯普森群''F''是由在二元樹上如圖中形式的操作所生成。圖中''L''和''T''是節點，但''A'', ''B'', ''R''可以用一般的樹代替。]]
群''F''可以用有序有根的[[二元樹]]上的運作表示。群''F''也可以表達為[[單位區間]]上由所有如下所述的分段線性[[同胚]]組成的群：同胚保持區間的定向，不可微點都是二進有理數（即形為''m''/2<sup>''n''</sup>的數，其中''m'', ''n''為整數），每段的斜率都是2的冪。

將單位區間的端點等同，便可以視群''F''為在單位圓上[[群作用|作用]]，而群''T''是在''F''中加入單位圓的同胚''x''→''x''+1/2 mod 1而生成的群。在二元樹上的對應操作是把根節點下方的兩棵樹交換。群''V''是在群''T''中加入一個不連續映射而生成的群，這映射固定半開區間[0,1/2)的點，並用最顯然的方法交換區間[1/2,3/4)和[3/4,1)。在二元樹上的對應操作為把根節點的右子節點下的兩棵樹（如有的話）交換。

==參考==
{{reflist}}
*{{Citation | last1=Cannon | first1=J. W. | authorlink1 = James W. Cannon | last2=Floyd | first2=W. J. | authorlink2 = William Floyd (mathematician) | last3=Parry | first3=W. R. | title=Introductory notes on Richard Thompson's groups | url=http://www.math.binghamton.edu/matt/thompson/cfp.pdf | format = PDF | mr=1426438 | year=1996 | journal=L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série | issn=0013-8584 | volume=42 | issue=3 | pages=215–256}}
*{{cite journal
| last1 = Cannon
| first1 = J.W.
| last2 = Floyd
| first2 = W.J.
| title = WHAT IS...Thompson's Group?
| journal = [[Notices of the American Mathematical Society]]
| issn = 0002-9920
| volume = 58
| issue = 8
| pages = 1112–1113
| url = http://www.ams.org/notices/201108/rtx110801112p.pdf
| format = PDF
| accessdate = December 27, 2011|date=September 2011}}
*{{Citation | last1=Higman | first1=Graham | author1-link=Graham Higman | title=Finitely presented infinite simple groups | url=http://books.google.com/books?id=LPvuAAAAMAAJ | publisher=Department of Pure Mathematics, Department of Mathematics, I.A.S. Australian National University, Canberra | series=Notes on Pure Mathematics | isbn=978-0-7081-0300-5 | id={{MR|0376874}} | year=1974 | volume=8}}
{{DEFAULTSORT:T湯普森群}} 
[[分類:群論]]