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[[File:Filter vs ultrafilter.svg|thumb|集合{1,2,3,4}的幂集格。其中，[[上闭集合]] ↑{1,4}被涂成黄色。它是一个''主滤子''，但不是一个[[超滤子]]，因为它能够通过增加浅绿色元素而扩展为一个非平凡的滤子↑{1}。而由于↑{1} 无法再被进一步扩展，它是一个[[超滤子]]。]]

在[[数学]]中，'''滤子'''(英語：filter)是[[偏序集合]]的特殊子集。经常使用的特殊情况是：要考虑的有序集合只是某个集合的[[冪集|幂集]]，并用集合包含来排序。滤子出现在[[序理论]]和[[格理论]]中，还可以在它们所起源的[[拓扑学]]中找到。滤子的[[格 (数学)|对偶]]概念是[[理想 (数学)|理想]]。

滤子是[[昂利·嘉当]]在1937年发明的并随后在[[尼古拉·布尔巴基]]的书《[[Topologie Générale]]》中作为对[[Eliakim Hastings Moore|E. H. Moore]]和[[H. L. Smith]]在1922年发明的[[網 (數學)|网]]的概念的替代。

== 定义 ==
'''滤子'''和'''滤子基'''的最一般的形式是定义在一般的[[偏序集]]上的。

设F是偏序集合 (P,≤)的子集，若F满足以下条件则其为'''滤子'''。
# F非空。
# ∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使z ≤ x且z ≤ y。(即F为'''滤子基'''或向下[[有向集合|有向的]])
# F是[[上闭集合|上闭的]]：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。

==相关概念和结论==
===真滤子===
偏序集P的滤子F称为'''真滤子'''，若F≠P。

===主滤子及其主元素===
包含给定元素<math>p</math>的最小的滤子是'''主滤子'''。<math>p</math>称为该滤子的'''主元素'''。<math>p</math>的主滤子是：<math>\{x \in P \ | \ p \le x \}</math>给出，并记为<math>\uparrow p</math>。
===理想===
滤子的[[序理论|序对偶]]（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
由于滤子和理想在概念上的序对偶性，关于滤子的讨论通常可以与理想的讨论相关联。关于滤子的其它信息（如'''极大滤子'''，'''素滤子''')参见[[理想 (数学)|理想]]。关于'''[[超滤子]]'''有专门的条目。

== 格中的滤子 ==
滤子最初只是为[[格 (数学)|格]]定义的。在这种情况下，滤子可以被特征化为如下等价陈述：

:格 (''P'',≤)的非空子集''F''是滤子，当且仅当它是对'''有限[[交运算|交]]'''([[下确界]])运算封闭的上闭集合。

即，对于所有在''F''中的''x''，''y''，''x'' ∧ ''y''也在''F''中。

== 集合上的滤子 ==

滤子的一个特殊情况是定义在集合上的滤子。假定一个集合''S''，偏序⊆可以通过子集包含定义在幂集'''P'''(''S'')上，把 ('''P'''(''S''),⊆)变成了一个格。定义''S''上的'''滤子 ''' ''F''为'''P'''(''S'')的有如下性质的子集：

# ''S'' ∈ ''F''（''F''非空）
# ∅ ∉ ''F''（''F''为真子集）
# 若''A'' ∈ ''F''且''B'' ∈ ''F''，则''A'' ∩ ''B'' ∈ ''F''（''F''对有限[[交运算|交]]封闭）
# 若''A'' ∈ ''F''且''A'' ⊆ ''B''，则''B'' ∈ ''F''中，对于所有''B'' ⊆ ''S''。（''F''是[[上闭集合]]）

前三个性质蕴涵了'''集合上的滤子'''有[[有限交集性质]]。通过这个定义在集合上的滤子是真滤子。为此有时叫做'''集合上的真滤子'''；但是，只要集合上下文是明显的，短名字就足够了。

'''滤子基'''是'''P'''(''S'')的带有如下性质的子集''B''：
# ''B''的任何两个集合的交集包含''B''的一个集合
# ''B''是非空的并且空集不在''B''中

滤子基''B''可以通过把包含''B''的一个集合的'''P'''(''S'')的所有集合包括在内而变成(真)滤子。所以结果的滤子基经常被称为是生成或扩张自滤子基''B''。所有滤子更加是滤子基，所以经过滤子基到滤子的过程可以被看做某种补全。

如果''B''和''C''是在''S''上的两个滤子基，要说''C'' '''细于'''（finer than）''B''（或者''C''是''B''的精细），意味着对于每个''B''<sub>0</sub> ∈ ''B''，有一个''C''<sub>0</sub> ∈ ''C''使得''C''<sub>0</sub> ⊆ ''B''<sub>0</sub>。
* 对于滤子基''B''和''C''，如果''B''细于''C''且''C''细于''B''，则''B''和''C''被称为'''等价滤子基'''。
* 对于滤子基''A'', ''B''和''C''，如果''A''细于''B''且''B''细于''C''，则''A''细于''C''。

给定'''P'''(''S'')的一个子集''T''，我们可以问是否存在一个最小的滤子''F''包含''T''。这样一个滤子存在，当且仅当''T''的子集的有限交集是非空的。我们称''T''为''F''的'''子基'''，并称''F'' '''生成'''自''T''。''F''可以通过采纳''T''的所有有限交集来构造，它就是''F''的滤子基。

=== 例子 ===

* 最简单的滤子的例子是包括''S''的一个特定非空子集''C''的''S''的所有子集的集合。这种滤子叫做  ''C''生成的'''主滤子'''。 

* 在无限集合''S''上[[Frechet滤子]]是''S''的有有限补元的所有子集的集合。

* 在集合''X''上的[[一致空间]]是在''X''×''X''上的滤子。

* 可以使用[[Rasiowa-Sikorski引理]]建立在[[偏序集合]]内的滤子，这经常用于[[力迫 (数学)|力迫]]。

* 集合<math>\{ \{ N, N+1, N+2, \dots \} : N \in \{1,2,3,\dots\} \}</math>被叫做自然数序列<math>(1,2,3,\dots)</math>的尾滤子基。尾滤子基由任何[[网 (数学)|网]]<math>(x_\alpha)_{\alpha \in A}</math>使用构造<math>\{ \{ x_\alpha : \alpha \in A, \alpha_0 \leq a \} : \alpha_0 \in A \}\,</math>得到。所以，所有的网都生成一个滤子基(并因此是滤子)。因为所有序列都是网，这对所有序列也成立。

=== 在模型论中滤子 ===
对于在集合''S''上的任何滤子''F''，如下定义的集合函数
:<math>
m(A)=\left\{
\begin{matrix}
\,1 & \mbox{if }A\in F \\
\,0 & \mbox{if }S - A\in F \\
\,\mbox{undefined} & \mbox{otherwise}
\end{matrix}
\right.
</math>
是有限可加性的，就是一个“[[测度]]”，如果这个术语更加松散的构造的话。所以陈述
:<math>\left\{\,x\in S: \varphi(x)\,\right\}\in F</math>
可以在某种程度上被认为类似于声称φ“[[几乎处处]]”成立。在滤子内的成员关系释义用在[[模型论]]的[[超乘积]]理论中。

===在拓扑学中的滤子 ===

在[[拓扑学]]和[[数学分析]]中，滤子被用来定义收敛，类似于[[序列]]在[[度量空间]]空间中所扮演的角色。

在拓扑学和有关的数学领域中，滤子是[[网 (数学)|网]]的推广。网和滤子二者都提供非常一般性的上下文来统一各种[[极限 (数学)|极限]]概念到任意的[[拓扑空间]]。 

一个[[序列]]通常用作为[[全序集合]]来索引。因此，在[[第一可數空間]]中的极限可以被序列所描述。但是如果，空间不是第一可数的，则必须使用网或滤子。网推广了序列的概念，通过简单的要求索引集合是[[有向集合]]。滤子可以被认为是从多个网建立的集合。因为，滤子的极限和网的极限二者在概念上同于序列的极限。

使用滤子的好处是很多结果的证明可以不使用[[选择公理]]。

====邻域基====

选取拓扑空间''T''和一个点''x'' ∈ ''T''。

* 选取''N''<sub>''x''</sub>是在''T''的点''x''上的'''[[邻域系统|邻域滤子]]'''。这意味着''N''<sub>''x''</sub>是点''x''的所有拓扑[[邻域]]的集合。可以验证''N''<sub>''x''</sub>是个滤子。'''邻域系统'''是'''邻域滤子'''的另一个名字。

* 要说''N''是在''T''的''x''上的'''邻域基'''，就意味着对于所有''V''<sub>0</sub> ∈ ''N''<sub>''x''</sub>，存在''N''<sub>0</sub> ∈ ''N''使得''N''<sub>0</sub> ⊆ ''V''<sub>0</sub>。注意所有邻域基都是滤子基。

====收敛滤子基====

选取拓扑空间''T''和一个点''x'' ∈ ''T''。

* 要说滤子基''B'' '''收敛'''到''x''，指示为''B'' → ''x''，就意味着对于所有''x''的邻域''U''，有''B''<sub>0</sub> ∈ ''B''使得''B''<sub>0</sub> ⊆ ''U''。在这种情况下，''x''叫做''B''的[[极限点]]而''B''叫做'''收敛滤子基'''。注意这里用的术语“极限点”是“极限”概念到滤子基的推广；在某些上下文中，术语“极限点”用于下面解说的簇点，并以此区别于术语“极限”。
** 对于所有''x''的邻域基''N''，有''N'' → ''x''。
** 如果''N''是''p''的邻域基而''C''是在''T''上的滤子基，则''C'' → ''x'' [[当且仅当]]''C''细于''N''。
** 对于''X'' ⊆ ''T''，要说''p''是''X''在''T''中极限点，就意味着对于''T''中的''p''的每个邻域''U''，有''U''∩(''A'' - {''p''})≠∅。 
** 对于''X'' ⊆ ''T''，''p''是''X''在''T''中的极限点，当且仅当存在在''A'' - {''p''}上的滤子基''B''使得''B'' → ''p''。

====聚集====

选取拓扑空间''T''和点''x'' ∈ ''T''。

* 要说''x''是''B''在''T''上的[[聚集点]]，就意味着对于每个''B''<sub>0</sub> ∈ ''B''和对于   ''x''在''T''中的每个邻域''U''，有''B''<sub>0</sub>∩''U''≠∅。在这种情况下，''B''  被被称为'''聚集'''于点''x''。
** 对于滤子基''B''使得''B'' → ''x''，极限点''x''也是聚集点。
** 对于滤子基''B''有着聚集点''x''，''x'' '''不'''必然是极限点。
** 对于滤子基''B''聚集于点''x''，有一个滤子基''C''细于会聚到''x''的滤子基''B''。
** 对于滤子基''B''，集合∩{cl(''B<sub>0</sub>'') : ''B<sub>0</sub>''∈''B''}是所有''B''的聚集点的集合(注意：cl(''B<sub>0</sub>'')是''B<sub>0</sub>''的[[闭包]])。假定''T''是[[偏序集合]]。
*** ''B''的[[下极限]]是''B''的所有聚集点的集合的[[下确界]]。
*** ''B''的[[上极限]]是''B''的所有聚集点的集合的[[上确界]]。
*** ''B''是收敛滤子基，[[当且仅当]]它的下极限和上极限一致；在这种情况下它们所一致于的值是这个滤子基的极限。

====拓扑空间的性质====

选取拓扑空间''T''。
* ''T''是[[豪斯多夫空间]]，[[当且仅当]]对于所有在''T''上的滤子基''B''，''B''→''p''并且''B''→''q''蕴涵''p''=''q''（就是说，所有滤子（基）有最多一个极限点）。
* ''T''是[[紧致空间]]，当且仅当所有在''X''上的滤子基聚集。
* ''T''是[[紧致空间]]，当且仅当所有在''X''上的滤子基是收敛滤子基的子集。
* ''T''是[[紧致空间]]，当且仅当所有在''X''上的[[超滤子]]会聚。

====拓扑空间上的函数====

选取拓扑空间''X''和''Y''和子集''E'' ⊆ ''X''。选取''E''上的滤子基''B''和函数<math>f : E \to Y</math>。''B''在''f''下的[[像]]''f''[''B'']是集合<math>\{ f(x) : x \in B \}</math>。像''f''[''B'']形成了在''Y''上的滤子基。
* ''f'' [[连续函数 (拓扑学)|连续]]于''x''，当且仅当<math>F \to x</math>蕴涵<math>f(F) \to f(x)</math>。

====度量空间====

选取[[度量空间]]''X''带有[[度量]]''d''。 
* 要说滤子基''B''在''X''上是'''柯西'''的，就意味着对于每个[[实数]]ε>0，有''B''<sub>0</sub> ∈ ''B''使得''B''<sub>0</sub>的度量[[直径]]小于ε。
* 选取 (''x<sub>n</sub>'')是度量空间''X''中的序列。(''x<sub>n</sub>'')是[[柯西序列]]，当且仅当形如{ {''x<sub>n</sub>'',''x<sub>n+1</sub>'',...} : ''n'' ∈ {1,2,3,...} }的滤子基是柯西的。

===一致空间中的滤子===
给定[[一致空间]]''X''，在''X''上的滤子''F''被称为'''柯西滤子'''，如果对于所有[[周围 (拓扑学)|周围]]（entourage）''U''，有着<math>A \in F</math>带有<math> (x, y) \in U</math>对于所有<math>x, y \in A</math>。在度量空间中，这选取形式  F为柯西的，如果对于所有<math> \epsilon > 0 \ \ \exists A \in F \ \ \mathrm{diam}(A) < \epsilon </math>。''X''被称为是完备的，如果所有柯西滤子会聚。反过来说，在一致空间上所有收敛滤子是柯西滤子。此外，所有柯西滤子的聚集点是极限点。

紧致一致空间是完备的：在紧致空间中每个滤子都有聚集点，并且如果滤子是柯西的，这种聚集点就是极限点。进一步的，一致空间是紧致的当且仅当它是完备的和[[完全有界空间|完全有界]]的。

== 引用 ==
*Cartan, H. (1937) "Thèorie des filtres". ''CR Acad. Paris'', '''205''', 595–598. 
*Cartan, H. (1937) "Filtres et ultrafiltres" ''CR Acad. Paris'', '''205''', 777–779.
A monograph available free online:
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]''  Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
*[https://web.archive.org/web/20071009170540/http://www.efnet-math.org/~david/mathematics/filters.pdf An introductory account of the theory of filters in metric and topological spaces]

== 参见 ==
* [[过滤 (数学)]]
* [[网 (数学)]]
* [[理想 (数学)]]

[[Category:序理论|L]]