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在數學上，若一個{{math|2''n''}}階[[矩陣]]{{math|''A''}}是一個'''漢彌爾頓矩陣'''，則對此矩陣而言，{{math|''JA''}}會是一個[[對稱矩陣]]，而其中{{math|''J''}}這個矩陣具有以下的形式：

:<math>J=
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}</math>

其中{{math|''I<sub>n</sub>''}}是{{math|''n''}}階矩陣[[單位矩陣]]。也就是說，若{{math|''A''}}是一個漢彌爾頓矩陣[[若且唯若]]{{math|1 = (''JA'')<sup>T</sup> = ''JA''}}，在此處{{math|()<sup>T</sup>}}表示矩陣的[[转置矩阵|轉置]]<ref name=ikramov>{{citation | first = Khakim D. | last = Ikramov | title = Hamiltonian square roots of skew-Hamiltonian matrices revisited | journal = Linear Algebra and its Applications | volume = 325 | year = 2001 | pages = 101–107 | doi = 10.1016/S0024-3795(00)00304-9 }}.</ref>

==性質==

假設一個{{math|2''n''}}階的矩陣{{math|''A''}}可寫成如下形式的分塊矩陣：
:<math> A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>
其中{{math|''a''}}、{{math|''b''}}、{{math|''c''}}、{{math|''d''}}皆為{{math|''n''}}階矩陣，則「{{math|''A''}}是漢彌爾頓矩陣」的這條件與「{{math|''b''}}和{{math|''c''}}這兩個矩陣皆為對稱矩陣，且{{math|1 = ''a'' + ''d''<sup>T</sup> = 0}}」的這條件等價。<ref name=ikramov /><ref name=meyer>{{citation | first1 = K. R. | last1 = Meyer | first2 = G. R. | last2 = Hall | title = Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the {{math|''N''}}-body problem | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | year = 1991 | isbn = 0-387-97637-X }}.</ref>另一個{{math|''A''}}是漢彌爾頓矩陣時的這條件等價的條件為「存在一個對稱矩陣{{math|''S''}}，使得{{math|1 = ''A'' = ''JS''}} with {{math|''S''}}」<ref name=meyer />{{rp|34}}

從轉置的定義，可輕易地得知說一個漢彌爾頓矩陣的轉置也是漢彌爾頓矩陣，兩個漢彌爾頓矩陣的和也是彌爾頓矩陣，一個漢彌爾頓矩陣的[[交換子]]也是漢彌爾頓矩陣。由所有同階的漢彌爾頓矩陣組成的空間形式一個[[李代數]]，記作{{math|sp(2''n'')}}，而{{math|sp(2''n'')}}的維度則為{{math|2''n''<sup>2</sup> + ''n''}}。與這個李代數相對應的[[李群]]是{{math|Sp(2''n'')}}這個[[辛群]]。{{math|Sp(2''n'')}}這個群可將之視作由[[辛矩陣]]所構成的一個群，其中若一矩陣{{math|''A''}}為一辛矩陣，則它滿足{{math|1 = ''A''<sup>T</sup>''JA'' = ''J''}}這條件。因此，一個漢彌爾頓矩陣的[[矩阵指数|指數]]是一個辛矩陣，而一個辛矩陣的對數是一個漢彌爾頓矩陣。<ref name=meyer />{{rp|34–36}}<ref name=dragt>{{citation | first = Alex J. | last = Dragt | doi = 10.1196/annals.1350.025 | title = The symplectic group and classical mechanics | journal = Annals of the New York Academy of Sciences | year = 2005 | volume = 1045 | issue = 1 | pages=291–307}}.</ref>

實漢彌爾頓矩陣的[[特徵多項式]]是個偶函數，因此若{{math|&lambda;}}是一個漢彌爾頓矩陣的[[特征向量]]，則{{math|−&lambda;}}、{{math|&lambda;<sup>*</sup>}}和{{math|−&lambda;<sup>*</sup>}}也都會是該矩陣的特徵向量。<ref name=meyer />{{rp|45}}而這也說明了一個漢彌爾頓矩陣的[[跡]]會是零。

一個漢彌爾頓矩陣的平方是一個[[斜漢彌爾頓矩陣]]（skew-Hamiltonian matrix。若一個矩陣{{math|''A''}}滿足{{math|1 = (''JA'')<sup>T</sup> = −''JA''}}這條件，則它是一個斜漢彌爾頓矩陣）；另一方面，每個斜漢彌爾頓矩陣都是一個彌爾頓矩陣的平方。<ref name=waterhouse>{{citation | first = William C. | last = Waterhouse | authorlink = William C. Waterhouse | doi = 10.1016/j.laa.2004.10.003 | title = The structure of alternating-Hamiltonian matrices | journal = Linear Algebra and its Applications | volume = 396 | year = 2005 | pages = 385–390 }}.</ref>

==在複矩陣上的推廣==
漢彌爾頓的定義可用兩種方式推廣到複矩陣上。一種方法是如上所述般定義說若一矩陣{{math|''A''}}滿足{{math|1 = (''JA'')<sup>T</sup> = ''JA''}}這條件，則該矩陣是一個漢彌爾頓矩陣；<ref name=ikramov /><ref name=waterhouse />另一個方式是利用{{math|1 = (''JA'')<sup>*</sup> = ''JA''}}這條件，其中{{math|()<sup>*</sup>}}表示矩陣的[[共轭转置]]。<ref name=paige>{{citation | first1 = Chris | last1 = Paige | first2 = Charles | last2 = Van Loan | authorlink2 = Charles F. Van Loan | title = A Schur decomposition for Hamiltonian matrices | journal = Linear Algebra and its Applications | volume = 41 | year = 1981 | pages = 11–32 | doi = 10.1016/0024-3795(81)90086-0 }}.</ref>

==漢彌爾頓算子==
設{{math|''V''}}為一個向量空間，在其上有著[[辛向量空间|辛形式]]{{math|Ω}}。那麼當「<math>x, y \mapsto \Omega(A(x), y)</math>是對稱的」這條件滿足時，就稱線性變換<math>A:\; V \mapsto V</math>是一個對{{math|Ω}}的'''漢彌爾頓算子'''（Hamiltonian operator），也就是說它當滿足下式：

:<math>\Omega(A(x), y)=-\Omega(x, A(y))</math>

若選擇一個[[基 (線性代數)|基]]{{math|''e''<sub>1</sub>, &hellip;, ''e''<sub>2''n''</sub>}} in {{math|''V''}}，使得{{math|Ω}}可寫成<math>\sum_i e_i \wedge e_{n+i}</math>這樣的形式，則一個對{{math|Ω}}線性算子是漢彌爾頓算子，當且僅當在這個基中與此算子對應的矩陣是漢彌爾頓矩陣。<ref name=waterhouse />

==參照==
<references />

[[Category:矩陣]]