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{{NoteTA|G1=物理學}}
'''热传导方程'''（或稱'''熱方程'''）是一個重要的[[偏微分方程]]，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。

==物理机制==
[[File:Heatequation_exampleB_frames.svg|right|frame|一维热方程图解（[[Commons:Image:Heatequation_exampleB.gif|观看动画版]]）]]

熱傳導在三維的[[各向同性]]介質裡的傳播可用以下方程式表達：

: <math>{\partial u\over \partial t}=\mathrm{div}(Uu) =
k \left({\partial^2 u\over \partial x^2 } +
{\partial^2 u\over \partial y^2 } +
{\partial^2 u\over \partial z^2 }\right)
 = k( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \quad </math>

其中：
* ''u'' =''u''(''t'', ''x'', ''y'', ''z'')表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數。
* <math>{\partial u}</math>/<math>{\partial t}</math>是空間中一點的溫度對時間的變化率。
*<math>u_{xx}</math>, <math>u_{yy}</math>與<math>u_{zz}</math>溫度對三個空間座標軸的二次導數。
* ''k''是[[熱擴散率]]，決定於材料的[[熱傳導|熱傳導率]]、[[密度]]與[[熱容]]。

熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目[[熱傳導]]）。

如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的[[邊界條件]]。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。

熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（[[熱平衡]]）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。

熱方程也是[[拋物線偏微分方程]]最簡單的例子。

利用[[拉普拉斯算子]]，熱方程可推廣為下述形式
:<math>u_t = k \Delta u, \quad </math>
其中的<math>\Delta</math>是對空間變數的拉普拉斯算子。

熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的[[動作電位]]。熱方程也可以作為某些金融現象的模型，諸如[[布莱克-斯科尔斯模型]]與Ornstein-Uhlenbeck過程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應用於影像分析。量子力學中的[[薛丁格方程]]雖然有類似熱方程的數學式（但時間參數為純虛數），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。

就技術上來說，熱方程違背[[狹義相對論]]，因為它的解表達了一個擾動可以在瞬間傳播至空間各處。擾動在前方[[光錐]]外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。

==以傅立葉級數解熱方程==
[[File:Temp_Rod_homobc.svg|thumb|300px|在理想狀態下一根棍子的熱傳導，配上均勻的邊界條件。]]

以下解法首先由[[約瑟夫·傅立葉]]在他於1822年出版的著作''Théorie analytique de la chaleur''（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下：

:<math>(1) \ u_t = k u_{xx} \quad  </math> 

其中''u'' = ''u''(''t'', ''x'')是''t''和''x''的雙變數函數。 
*''x''是空間變數，所以''x'' ∈ [0,''L'']，其中''L''表示棍子長度。
* ''t''是時間變數，所以''t'' ≥ 0。

假設下述初始條件

:<math>(2)\ u(0,x) = f(x) \quad \forall x \in [0,L] \quad  </math> 

其中函數''f''是給定的。再配合下述邊界條件

:<math>(3)\ u(t,0) = 0 = u(t,L) \quad \forall  t > 0 \quad </math>.

讓我們試著找一個非恆等於零的解，使之滿足邊界條件(3)並具備以下形式：

:<math>(4)\ u(t,x) = X(x) T(t). \quad</math>

這套技術稱作[[分離變數法]]。現在將''u''代回方程式(1)，

:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}. \quad </math>

由於等式右邊只依賴''x''，而左邊只依賴''t''，兩邊都等於某個常數− λ，於是：

:<math>(5) \ T'(t) = - \lambda kT(t) \quad </math>
:<math>(6) \ X''(x) = - \lambda X(x). \quad </math>

以下將證明(6)沒有λ ≤ 0的解：

#
假設λ < 0，則存在實數''B''、''C''使得 

:<math>X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}</math>。

從(3)得到 

:<math>X(0) = 0 = X(L). \quad </math> 

於是有''B'' = 0 = ''C''，這蘊含''u''恆等於零。 

#
假設λ = 0，則存在實數''B''、''C''使得 

:<math>X(x) = Bx + C. \quad </math> 

仿上述辦法可從等式(3)推出''u''恆等於零。

#
因此必然有λ > 0，此時存在實數''A''、''B''、''C''使得

:<math>T(t) = A e^{-\lambda k t} \quad </math> 
:<math>X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x)</math>。

從等式(3)可知''C'' = 0，因此存在正整數''n''使得

:<math>\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}</math>。

由此得到熱方程形如(4)的解。

一般而言，滿足(1)與(3)的解相加後仍是滿足(1)與(3)的解。事實上可以證明滿足(1)、(2)、(3)的解由下述公式給出：

:<math>u(t,x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} D_n \left(\sin \frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 kt}{L^2}}</math> 

其中 

:<math>D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx</math>。

===推廣求解技巧===

上面採用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當的[[函數空間]]上，算子<math>u \mapsto u_{xx}</math>可以用它的[[特徵向量]]表示。這就自然地導向線性[[自伴算子]]的[[譜理論]]。

考慮[[線性算子]]Δ ''u'' = ''u''<sub>''x x''</sub>，以下函數序列

:<math> e_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L} </math>（''n'' ≥ 1）

是Δ的特徵向量。誠然：

:<math> \Delta e_n = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} e_n</math>。

此外，任何滿足邊界條件''f''(0)=''f''(''L'')=0的Δ的特徵向量都是某個''e''<sub>''n''</sub>。令L<sup>2</sup>(0, ''L'')表 [0, ''L'']上全體平方可積函數的向量空間。這些函數''e''<sub>''n''</sub>構成L<sup>2</sup>(0, ''L'')的一組[[正交歸一基]]。更明白地說：

:<math> \langle e_n, e_m \rangle = \int_0^L e_n(x) e_m(x) dx = \left\{ \begin{matrix} 0 & n \neq m \\ 1 & m = n\end{matrix}\right. </math>

最後，序列{''e''<sub>''n''</sub>}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub>張出L<sup>2</sup>(0, ''L'')的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子Δ [[對角化]]。

==非均勻不等向介質中的熱傳導==

一般而言，熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是[[能量]]流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。

* 單位時間內流入區域'' V''的熱量由一個依賴於時間的量''q''<sub>''t''</sub>(''V'')給出。假設''q''有個[[密度]]''Q(t,x)''，於是

::<math> q_t(V) = \int_V Q(t,x)\,d x \quad </math>

* 熱流是個依賴於時間的向量函數'''H'''(''x'')，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為''dS''而單位法向量為'''n'''的無窮小曲面元素的熱量是

::<math> \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS </math>

因此單位時間內進入''V''的熱流量也由以下的面積分給出

:<math>  q_t(V)= - \int_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS </math>

其中'''n'''(x)是在''x''點的向外單位法向量。

* [[熱傳導定律]]說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關係

::<math> \mathbf{H}(x) = -\mathbf{A}(x) \cdot \nabla u(x) </math>

:其中'''A'''(''x'')是個3×3實對稱正定[[矩陣]]。

利用[[格林定理]]可將之前的面積分轉成一個體積分

:<math> q_t(V) = - \int_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS </math>
 
:::<math> = \int_{\partial V} \mathbf{A}(x) \cdot \nabla u(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS </math>

:::<math> = \int_V \sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(t,x)\,dx </math>

* 溫度在''x''點對時間的改變率與流進''x''点所在的無窮小区域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作κ(x)。

::<math> \partial_t u(t,x) = \kappa(x) Q(t,x)\, </math>

將以上所有等式合併，便獲得支配熱流的一般公式。

: <math> \partial_t u(t,x) = \kappa(x) \sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(t,x) </math>

'''註記'''：  

* 係數κ(''x'')是該材料在''x''點的[[密度]]和[[比熱]]的积的倒数。

* 在等方向性介質的情況，矩陣'''A'''只是個純量，等於材料的導熱率。

* 在非等向的情況，'''A'''不一定是純量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應的[[抽象柯西問題]]，證明它是[[適定性問題|適定]]的，並（或）導出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴於[[單參數半群]]理論：舉例來說，如果''A''是個對稱矩陣，那麼由

::<math>Au(x):=\sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(x)</math>

:定義的[[橢圓算子]]是自伴而且耗散的，因此由[[譜定理]]導出它生成一個單參數半群。

==粒子擴散==

===粒子擴散方程===
在粒子擴散的模型中，我們考慮的方程涉及
* 在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積[[濃度]]，記作''c''。或者
* 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的[[機率密度函數]]，記作''P''。

不同情況下的方程式：
:<math>c_t = D \Delta c, \quad </math>
或者
:<math>P_t = D \Delta P. \quad </math>

''c''與''P''都是位置與時間的函數。''D''是擴散係數，它控制擴散速度，通常以公尺/秒為單位。

如果擴散係數''D''依賴於濃度''c''（或第二種情況下的機率密度''P''），則我們得到[[非線性擴散方程]]。

單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個[[布朗運動]]。

如果一個粒子在時間<math>t=0</math>時置於<math>\vec R = \vec 0</math>，則相應的機率密度函數具有以下形式：

: <math>P(\vec R,t) = G(\vec R,t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{-\frac {\vec R^2}{4 D t}}</math>

它與機率密度函數的各分量<math>R_x</math>、<math>R_y</math>和<math>R_z</math>的關係是：

: <math>P(\vec R,t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{-\frac {R_x^2+R_y^2+R_z^2}{4 D t}} = P(R_x,t)P(R_y,t)P(R_z,t)</math>

隨機變數<math>R_x, R_y, R_z</math>服從平均數為0、變異數為<math>2\,D\,t</math>的[[正態分佈]]。在三維的情形，隨機向量<math> \vec R</math>服從平均數為<math>\vec 0</math>、變異數為<math>6\,D\,t</math>的正態分佈。

在''t=0''時，上述<math>P(\vec R, t)</math>的表示式帶有奇點。對應於粒子處在原點之初始條件，其機率密度函數是在原點的[[狄拉克δ函數]]，記為<math>\delta(\vec R)</math>（三維的推廣是<math>\delta(\vec R) = \delta(R_x)\delta(R_y) \delta(R_z)</math>）；擴散方程對此初始值的解也稱作''格林函數''。

===擴散方程的歷史源流===
[[斐克擴散定律|粒子擴散方程]]首先由Adolf Fick於1855年導得。

===以格林函數解擴散方程===

格林函數是擴散方程在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程的[[基本解]]）。當粒子初始位置在原點<math>\vec 0</math>時，相應的格林函數記作<math> G(\vec R, t) </math>（''t>0''）；根據擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置<math>\vec R^0</math>，相應的格林函數是<math> G(\vec R - \vec R^0, t)</math>。

對於一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數的[[疊加原理|疊加]]。

舉例來說，設''t=0''時有一大群粒子，根據濃度分佈的初始值<math>c(\vec R, 0)</math>分佈於空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。

跟任何（廣義）函數一樣，濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克δ函數的疊加：

: <math>c(\vec R, t=0) = \int c(\vec R^0,t=0) \delta(\vec R - \vec R^0) dR_x^0\,dR_y^0\,dR_z^0</math>

擴散方程是線性的，因此在之後的任一時刻''t''，濃度分佈變為：

: <math>c(\vec R, t) = \int c(\vec R^0,t=0) G(\vec R - \vec R^0,t) dR_x^0\,dR_y^0\,dR_z^0</math> 

在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克δ函數對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導或[[動量]]的擴散；後者關係到流體的[[黏性]]現象。

====一維格林函數解列表====
以下以簡寫BC代表邊界條件，IC代表初始條件。

:<math>\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x) & IC \end{cases} </math>
:<math>u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)g(y)\,dy </math>

:<math>\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases} </math>
:<math>u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{0}^{\infty}
\left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)-\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4kt}\right)\right)
g(y)\,dy </math>

:<math>\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u_{x}(0,t)=0 & BC \end{cases} </math>
:<math>u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{0}^{\infty}
\left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)+\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4kt}\right)\right)
g(y)\,dy </math>

:<math>\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \end{cases} </math>
:<math>u(x,t)=\int_{0}^{t}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k(t-s)}} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4k(t-s)}\right)f(s)\,dyds </math>

:<math>\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)& 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases} </math>
:<math>u(x,t)=\int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k(t-s)}} 
\left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4k(t-s)}\right)-\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4k(t-s)}\right)\right)
f(y,s)\,dyds </math>

:<math>\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \\ u(0,t)=h(t) & BC \end{cases} </math>
:<math>u(x,t)=\int_{0}^{t} \frac{x}{\sqrt{4\pi k(t-s)^3}} 
\exp\left(-\frac{x^2}{4k(t-s)}\right)h(s)\,ds </math>

（可能的問題：根據上解，u(0)=0）

:<math>\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x) & IC\end{cases} </math>
:<math> \quad{u=w+v} </math>
:<math>\begin{cases} v_{t}=kv_{xx}+f, \, w_{t}=kw_{xx} \, & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty
\\ v(x,0)=0,\, w(x,0)=g(x) \, & IC\end{cases} </math>

:<math>\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u(0,t)=h(t) & BC\end{cases} </math>
:<math> \quad{u=w+v+r} </math>
:<math>\begin{cases} v_{t}=kv_{xx}+f, \, w_{t}=kw_{xx}, \, r_{t}=kr_{xx} \, & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty
\\ v(x,0)=0, \; w(x,0)=g(x), \; r(x,0)=0 & IC
\\ v(0,t)=0, \; w(0,t)=0, \; r(0,t)=h(t) & BC
\end{cases}</math>

==應用==
熱方程在許多現象的[[數學模型]]中出現，而且常在金融數學中作為[[期權]]的模型出現。著名的[[布莱克-斯科尔斯模型]]中的差分方程可以轉成熱方程，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱方程可以用Crank-Nicolson法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型（詳見文獻Wilmott，1995）。

熱方程在[[流形]]上的推廣是處理[[阿蒂亞-辛格指標定理]]的主要工具之一，由此也導向熱方程在[[黎曼幾何]]中有许多應用。

==參見==
* [[熱]]
* [[偏微分方程]]
* [[发展方程]]

==文獻==

*Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/adp/549_560.pdf]

*Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)''The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction.'' Cambridge University Press.

*L.C. Evans, ''Partial Differential Equations'', American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.

==外部連結==
{{Commonscat|Heat Equation}}
* [http://www.mathphysics.com/pde/HEderiv.html 熱方程的推導]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/heat-toc.pdf Linear heat equations]:邊界值問題的特解 - 來自EqWorld 

[[Category:扩散]]
[[Category:热传导]]
[[Category:抛物型偏微分方程]]
[[Category:传热]]

[[cs:Rovnice vedení tepla]]