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在[[數學]]裏，特別是將[[線性代數]]套用到[[物理]]時，'''愛因斯坦求和約定'''（{{lang|en|Einstein summation convention}}）是一種標記的約定，又稱為'''愛因斯坦標記法'''（{{lang|en|Einstein notation}}），在處理關於[[坐標]]的方程式時非常有用。這約定是由[[阿爾伯特·愛因斯坦]]於1916年提出的<ref name=Ein1916>{{citation |last=Einstein |first=Albert |authorlink=Albert Einstein |coauthors= |title=The Foundation of the General Theory of Relativity |journal=Annalen der Physik |volume= |issue= |pages= |date=1916 |publisher= |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |format=[[PDF]] |id= |accessdate=2006-09-03 |deadurl=yes |archiveurl=https://www.webcitation.org/5QWa44CvC?url=http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archivedate=2007-07-22 }}</ref>。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說<ref>{{Citation
  | last = Byron
  | first = Frederick
  | last2 = Fuller
  | first2 = Robert
  | title = Mathematics of classical and quantum physics
  | publisher = Courier Dover Publications
  | year = 1992
  | pages =pp. 5
  | isbn =9780486671642 }}</ref>：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的[[歐幾里得空間]]），或0、1、2、3（代表維度為四的[[時空]]或[[閔可夫斯基時空]]）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）[[無限集合]]。這樣，在三維空間裏，
:<math> y = c_i x^i\,\!</math>

的意思是
:<math> y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3\,\!</math>。

請特別注意，上標並不是[[指數]]，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏，<math>x^1\,\!</math>、<math>x^2\,\!</math>、<math>x^3\,\!</math>分別表示<math>x\,\!</math>坐標、<math>y\,\!</math>坐標、<math>z\,\!</math>坐標，而不是<math>x\,\!</math>、<math>x\,\!</math>的平方、<math>x\,\!</math>的立方。

==簡介==
愛因斯坦標記法的基本點子是[[餘向量]]與[[向量]]可以形成[[純量]]：
:<math> y = c_1 x^1+c_2x^2+c_3x^3+ \cdots + c_nx^n\,\!</math>。

通常會將這寫為[[總和|求和公式]]形式：
:<math> y = \sum_{i=1}^n c_ix^i\,\!</math>。

在[[基底]]變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的[[線性變換]]可以用[[矩陣]]來描述，而餘向量的線性變換則需用其[[逆矩陣]]來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的[[線性函數]]（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到[[總和|求和符號]]：
:<math> y = c_i x^i \,\,\!</math>

採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與[[指數]]混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。

==向量的表示==
在[[線性代數]]裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和[[餘向量]]（又稱為[[1-形式]]）。向量的分量是用上標來標明，例如，<math>a^i\,\!</math>。給予一個<math>n\,\!</math>維向量空間<math>\mathbb{V}\,\!</math>和其任意[[基底]]<math>\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)\,\!</math>（可能不是[[標準正交基]]），那麼，向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>表示為
:<math>\mathbf{a}= a^i \mathbf{e}_i= \begin{bmatrix}a^1\\a^2\\\vdots\\a^n\end{bmatrix}\,\!</math>。

餘向量的分量是用下標來標明，例如，<math>\alpha_i\,\!</math>。給予<math>\mathbb{V}\,\!</math>的[[對偶空間]]<math>\mathbb{V}^*\,\!</math>和其任意基底<math>\boldsymbol{\omega}=(\boldsymbol{\omega}^1,\boldsymbol{\omega}^2,\dots,\boldsymbol{\omega}^n)\,\!</math>（可能不是標準正交基），那麼，餘向量<math>\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>表示為
:<math>\boldsymbol{\alpha}= \alpha_i \boldsymbol{\omega}^i= \begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{bmatrix}\,\!</math>。

採用向量的[[共變和反變]]術語，上標表示[[共變和反變|反變向量]]（向量）。對於基底的改變，從<math>\mathbf{e}\,\!</math>改變為<math>\overline{\mathbf{e}}\,\!</math>，反變向量會變換為
:<math>{\overline{a}}^{i}= \frac{\partial {\overline{x}}^{i}}{\partial x^j} a^j\,\!</math>；

其中，<math>{\overline{a}}^{i}\,\!</math>是改變基底後的向量的分量，<math>{\overline{x}}^{i}\,\!</math>是改變基底後的坐標，<math>x^j\,\!</math>是原先的坐標，

下標表示[[共變和反變|共變向量]]（餘向量）。對於基底的改變，從<math>\boldsymbol{\omega}\,\!</math>改變為<math>\overline{\boldsymbol{\omega}}\,\!</math>，共變向量會會變換為
:<math>\overline{\alpha}_i= \frac{\partial x^i}{\partial {\overline{x}}^{j}} \alpha_j\,\!</math>。

==一般運算==
矩陣<math>A\,\!</math>的第<math>m\,\!</math>橫排，第 <math>n\,\!</math>豎排的元素，以前標記為<math>A_{mn}\,\!</math>；現在改標記為<math>A_n^m\,\!</math>。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：

===內積===
給予向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>和餘向量<math>\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>，其向量和餘向量的內積為純量：
:<math>\mathbf{a}\cdot\boldsymbol{\alpha}=a^i \alpha_i\,\!</math>。

===向量乘以矩陣===
給予矩陣<math>A\,\!</math>和向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>，它們的乘積是向量<math>\mathbf{b}\,\!</math>：
:<math>b^i=A^i_j a^j\,\!</math>。

類似地，矩陣<math>A\,\!</math>的[[轉置矩陣]]<math>B=A^\mathrm{T}\,\!</math>，其與餘向量<math>\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>的乘積是餘向量<math>\boldsymbol{\beta}\,\!</math>：
:<math>\beta_j=B^i_j \alpha_i=\alpha_i B^i_j\,\!</math>。

===矩陣乘法===
[[矩陣乘法]]表示為
:<math>C^i_k = A^i_j \, B^j_k \,\!</math>。

這公式等價於較冗長的普通標記法：
:<math> C_{ik} = (A \, B)_{ik} = \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}\,\!</math>。

===跡===
給予一個方塊矩陣<math>A^i_j\,\!</math>，總和所有上標與下標相同的元素<math>A^i_i\,\!</math>，可以得到這矩陣的[[跡]]<math>t\,\!</math>：
:<math>t=A^i_i\,\!</math>。

===外積===
M維向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>和N維餘向量<math>\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>的[[外積]]是一個M×N矩陣<math>A\,\!</math>：
:<math>A= \mathbf{a} \, \boldsymbol{\alpha} \,\!</math>。

採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為
:<math>A^i_j = a^i \, \alpha_j\,\!</math>

由於<math>i\,\!</math>和<math>j\,\!</math>代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣<math>A\,\!</math>的標號。

==向量的內積==
一般[[力學]]及[[工程學]]會用互相[[標準正交基]]的[[基底|基底向量]]<math>\hat{\mathbf{i}}\,\!</math>、<math>\hat{\mathbf{j}}\,\!</math>及<math>\hat{\mathbf{k}}\,\!</math>來描述三維空間的向量。
:<math>\mathbf{u} = u_x\hat{\mathbf{i}} + u_y\hat{\mathbf{j}} + u_z\hat{\mathbf{k}}\,\!</math>。

把[[直角坐標系]]的基底向量<math>\hat{\mathbf{i}}\,\!</math>、<math>\hat{\mathbf{j}}\,\!</math>及<math>\hat{\mathbf{k}}\,\!</math>寫成<math>\hat{\mathbf{e}}_1\,\!</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_2\,\!</math>及<math>\hat{\mathbf{e}}_3\,\!</math>，所以一個向量可以寫成：
:<math>\mathbf{u} = u_1 \hat{\mathbf{e}}_1 + u_2 \hat{\mathbf{e}}_2 + u_3 \hat{\mathbf{e}}_3
 = \sum_{i = 1}^3 u_i \hat{\mathbf{e}}_i\,\!</math>。

根據'''愛因斯坦求和约定'''，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：
:<math> \mathbf{u} =u^i \hat{\mathbf{e}}_i = \sum_{i = 1}^3 u^i \hat{\mathbf{e}}_i \,\!</math>。

由於基底是標準正交基，<math>\mathbf{u}\,\!</math>的每一個分量<math>u^i= u_i \,\!</math>，所以，
:<math> \mathbf{u}= \sum_{i = 1}^3 u_i \hat{\mathbf{e}}_i \,\!</math>。

兩個向量<math>\mathbf{u}\,\!</math>與<math>\mathbf{v}\,\!</math>的[[内积]]是
:<math>\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (u^i\hat{\mathbf{e}}_i) \cdot (v^j
  \hat{\mathbf{e}}_j) = \left( \sum_{i = 1}^3 u_i\hat{\mathbf{e}}_i \right) \cdot \left(
   \sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j \right)=\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j )  \,\!</math>。

由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：
:<math> \hat{\mathbf{e}}_i \cdot   \hat{\mathbf{e}}_j = \delta_{ij} \,\!</math>；

其中，<math>\ \delta_{ij}\,\!</math>就是[[克羅內克函數]]。當<math>i=j\,\!</math>時，則<math>\delta_{ij}=1\,\!</math>，否則<math>\delta_{ij}=0\,\!</math>。

邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數<math>\ \delta_{ij}\,\!</math>，就可以把方程式中的標號<math>i\,\!</math>轉為<math>j\,\!</math>或者把標號<math>j\,\!</math>轉為<math>i\,\!</math>。所以，

:<math>\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} =\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j\delta_{ij}= \sum_{i = 1}^3 u_i v_i \,\!</math>。

==向量的叉積==
採用同樣的標準正交基<math>\hat{\mathbf{e}}_1\,\!</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_2\,\!</math>及<math>\hat{\mathbf{e}}_3\,\!</math>，兩個向量<math>\mathbf{u}\,\!</math>與<math>\mathbf{v}\,\!</math>的[[叉積]]，以方程式表示為
:<math> \mathbf{u} \times \mathbf{v}= (u^j \hat{\mathbf{e}}_j ) \times (v^k
   \hat{\mathbf{e}}_k)= \left( \sum_{j = 1}^3 u_j \hat{\mathbf{e}}_j \right) \times
   \left( \sum_{k = 1}^3 v_k \hat{\mathbf{e}}_k \right) \,\!</math>
::<math>=\sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 u_j v_k\epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i
   \,\!</math>。

注意到
:<math> \hat{\mathbf{e}}_j \times \hat{\mathbf{e}}_k = \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_i\,\!</math>；

其中，張量<math>\ \epsilon_{ijk}\,\!</math>是[[列维-奇维塔符号]]，定義為
{|
| rowspan="3" |<math> \epsilon_{ijk} =  \epsilon^{ijk}\ \stackrel{def}{=}
\begin{cases}
+1 \\
-1 \\
0
\end{cases} \,\!</math>
|，若<math>(i,j,k)=\,\!</math>   <math>\{1,2,3\}\,\!</math>、<math>\{2,3,1\}\,\!</math>或<math>\{3,1,2\}\,\!</math>   （偶[[置換]]）
|-
|，若<math>(i,j,k)=\,\!</math>   <math>\{3,2,1\}\,\!</math>、<math>\{2,1,3\}\,\!</math>或<math>\{1,3,2\}\,\!</math>（奇置換）
|-
|，若  <math>i=j\,\!</math>、<math>j=k\,\!</math>或<math>i=k\,\!</math>
|}

所以，
:<math> \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u^2 v^3 - u^3 v^2) \hat{\mathbf{e}}_1 + (u^3 v^1 - u^1 v^3) \hat{\mathbf{e}}_2 + (u^1 v^2 - u^2 v^1) \hat{\mathbf{e}}_3\,\!</math>。

設定<math> \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}\,\!</math>，那麼，
:<math> w^i \hat{\mathbf{e}}_i= \epsilon^{ijk} u_j v_k\hat{\mathbf{e}}_i  \,\!</math>。

所以，
:<math>\ w^i = \epsilon^{ijk} u_j v_k \,\!</math>。

==向量的共變分量和反變分量==
在[[歐幾里得空間]]<math>\mathbb{V}\,\!</math>裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用[[內積]]運算從向量求得餘向量；對於所有向量<math>\mathbf{b}\,\!</math>，通過下述方程式，向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>唯一地確定了餘向量<math>\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>：
:<math>\boldsymbol{\alpha}(\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\,\!</math>。

逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量<math>\boldsymbol{\alpha} \,\!</math>唯一地確定了向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予<math>\mathbb{V}\,\!</math>的一個基底<math>\mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\!</math>，則必存在一個唯一的對偶基底<math>\mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\!</math>，滿足
:<math>Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\!</math>；

其中，張量<math>\delta^i_j\,\!</math>是[[克羅內克函數]]。

以這兩種基底，任意向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>可以寫為兩種形式
:<math>\begin{align}
\mathbf{a} &= \sum_i a^i[\mathfrak{f}]X_i =  \mathfrak{f}\,\mathbf{a}[\mathfrak{f}]\\
&=\sum_i a_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{a}[\mathfrak{f}^\sharp]
\end{align}
\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>a^i[\mathfrak{f}]\,\!</math>是向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>對於基底<math>\mathfrak{f}\,\!</math>的反變分量，<math>a_i[\mathfrak{f}]\,\!</math>是向量<math>\mathbf{v}\,\!</math>對於基底<math>\mathfrak{f}\,\!</math>的共變分量，

===歐幾里得空間===
[[File:Basis01.jpg|thumb|right|400px|將向量<math>\mathbf{a}\,\!</math> [[投影]]於坐標軸<math>\mathbf{e}^i\,\!</math>，可以求得其反變分量<math>a^i\,\!</math>；將向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>投影於[[坐標曲面]]的[[法線]]<math>\mathbf{e}_i\,\!</math>，可以求得其共變分量<math>a_i\,\!</math>。]]

在[[歐幾里得空間]]<math>\mathbb{R}^3\,\!</math>裏，使用[[內積]]運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是[[標準正交基]]的基底，其基底向量為<math>\mathbf{e}_1\,\!</math>、<math>\mathbf{e}_2\,\!</math>、<math>\mathbf{e}_3\,\!</math>，就可以計算其對偶基底的基底向量：
:<math> \mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\!</math>；

其中，<math>\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\!</math>是基底向量<math>\mathbf{e}_1\,\!</math>、<math>\mathbf{e}_2\,\!</math>、<math>\mathbf{e}_3\,\!</math>共同形成的[[平行六面體]]的體積。

反過來計算，
:<math> \mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\!</math>；

其中，<math>\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\!</math>是基底向量<math>\mathbf{e}^1\,\!</math>、<math>\mathbf{e}^2\,\!</math>、<math>\mathbf{e}^3\,\!</math>共同形成的平行六面體的體積。

雖然<math>\mathbf{e}_i\,\!</math>與<math>\mathbf{e}^j\,\!</math>並不相互標準正交，它們相互對偶：
:<math>\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\!</math>。

雖然<math>\mathbf{e}^i\,\!</math>與<math>\mathbf{e}_j\,\!</math>並不相互標準正交，它們相互對偶：
:<math>\mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_j = \delta^i_j\,\!</math>。

這樣，任意向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>的反變分量為
:<math> a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\!</math>。

類似地，共變分量為
:<math> a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\!</math>。

這樣，<math>\mathbf{a}\,\!</math>可以表示為
:<math>\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3  \,\!</math>，
或者，
:<math>\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\!</math>。

綜合上述關係式，
:<math> \mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\!</math>。

向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>的共變分量為
:<math>a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\!</math>；

其中，<math>g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\!</math>是[[度規張量]]。

向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>的反變分量為
:<math>a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\!</math> ;

其中，<math>g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\!</math>是[[度規張量|共軛度規張量]]。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

==抽象定義==
思考維度為<math>n\,\!</math>的向量空間<math>\mathbb{V}\,\!</math>。給予一個可能不是標準正交基的基底<math>(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)\,\!</math>。那麼，在<math>\mathbb{V}\,\!</math>內的向量<math>\mathbf{v}\,\!</math>，對於這基底，其分量為<math>v^1\,\!</math>、<math>v^2\,\!</math>、...<math>v^n\,\!</math>。以方程式表示，
: <math>\mathbf{v} = v^i\mathbf{e}_i.\,\!</math>。

在這方程式右手邊，標號<math>i\,\!</math>在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從<math>i\,\!</math>等於<math>1\,\!</math>到<math>n\,\!</math>，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從<math>\mathbb{V}\,\!</math>用[[張量積]]和[[對偶空間|對偶性]]建立的向量空間。例如，<math>\mathbb{V}\otimes \mathbb{V}\,\!</math>，<math>\mathbb{V}\,\!</math>與自己的張量積，擁有由形式為<math>\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j\,\!</math>的張量組成的基底。任意在<math>\mathbb{V}\otimes \mathbb{V}\,\!</math>內的張量<math>\mathbf{T}\,\!</math>可以寫為
:<math>\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}\,\!</math>。

向量空間<math>\mathbb{V}\,\!</math>的[[對偶空間]]<math>\mathbb{V}^*\,\!</math>擁有基底<math>(\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2,\dots,\mathbf{e}^n)\,\!</math>，遵守規則
:<math>\mathbf{e}^i \cdot\mathbf{e}_j = \delta^i_j\,\!</math>；

其中，<math> \delta^i_j\,\!</math>是[[克羅內克函數]]。

==範例==
為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。

*思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過[[張量縮併]]（{{lang|en|tensor contraction}}）運算後，變為一個純量：
:<math>c=a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3\,\!</math>。

*方程式的右手邊有兩個項目：
:<math>c^\nu=a^{\mu\nu} b_\mu +f^\nu= a^{0\nu} b_0 + a^{1\nu} b_1 + a^{2\nu} b_2 + a^{3\nu} b_3+f^\nu\,\!</math>。

:由於運算結果與標號<math>\mu\,\!</math>和<math>\nu\,\!</math>無關，可以被其它標號隨意更換，所以，<math>\mu\,\!</math>和<math>\nu\,\!</math>稱為'''傀標號'''。

:'''自由標號'''是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏，<math>\nu\,\!</math>是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目<math>a^{\mu\nu} b_\mu\,\!</math>裏，標號<math>\mu\,\!</math>出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱<math>\mu\,\!</math>為'''求和標號'''。
*思考在[[黎曼空間]]的弧線元素長度<math>ds\,\!</math>：
::<math>ds^2=g_{ij}dx^i dx^j=g_{0j}dx^0 dx^j+g_{1j}dx^1 dx^j+g_{2j}dx^2 dx^j+g_{3j}dx^3 dx^j\,\!</math>。請將這兩種標號跟[[自由變量和約束變量]]相比較。

:進一步擴展，
::<math>ds^2=g_{00}dx^0 dx^0+g_{10}dx^1 dx^0+g_{20}dx^2 dx^0+g_{30}dx^3 dx^0\,\!</math>
:::<math>\qquad +g_{01}dx^0 dx^1+g_{11}dx^1 dx^1+g_{21}dx^2 dx^1+g_{31}dx^3 dx^1\,\!</math>
:::<math>\qquad +g_{02}dx^0 dx^2+g_{12}dx^1 dx^2+g_{22}dx^2 dx^2+g_{32}dx^3 dx^2\,\!</math>
:::<math>\qquad +g_{03}dx^0 dx^3+g_{13}dx^1 dx^3+g_{23}dx^2 dx^3+g_{33}dx^3 dx^3\,\!</math>。

:注意到<math>ds^2\,\!</math>是<math>ds\,\!</math>乘以<math>ds\,\!</math>，是<math>(ds)^2\,\!</math>，而不是<math>(s^2)\,\!</math>坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用[[括號]]來分歧義。

==參閱==
* [[狄拉克標記]]
* [[抽象指标记号]]
* [[潘洛斯圖形標記法]]（{{lang|en|Penrose graphical notation}}）

==參考文獻==
<small>
{{reflist}}
* {{springer|id=E/e035220|first=L.P.|last=Kuptsov|title=Einstein rule}}.
</small>

==外部連結==
*{{citation
|last=Rawlings
|first=Steve
|url=http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~sr/lectures/vectors/lecture10final.pdfc
|title=Lecture 10 - Einstein Summation Convention and Vector Identities
|publisher=Oxford University
|date=2007-02-01
|access-date=2010-05-10
|archive-url=https://web.archive.org/web/20170106185911/http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~sr/lectures/vectors/lecture10final.pdfc
|archive-date=2017-01-06
|dead-url=yes
}}

{{DEFAULTSORT:A}}
[[Category:數學表示法]]
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