查看“特徵多項式”的源代码

{{not|特徵方程式}}
{{expand|time=2012-06-29T06:24:18+00:00}}
{{unreferenced|time=2011-09-15T22:14:04+00:00}}
在[[線性代數]]中，對一個線性自同態（取定[[基 (代數)|基]]即等價於方陣）可定義其'''特徵多項式'''，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如[[行列式]]、[[跡數]]及[[特徵值]]。

==定義==
設 <math>\mathbb{F}</math> 為域（例如[[實數]]或[[複數]]域），對佈於 <math>\mathbb{F}</math> 上的 <math>n \times n</math> 矩陣 <math>A</math>，定義其'''特徵多項式'''為
: <math>p_A(t) := \det (t I_n - A) \in \mathbb{F}[t]</math>

這是一個 <math>n</math> 次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何[[交換環]]上的方陣都能定義特徵多項式。

==性質==
當 <math>A</math> 為上三角矩陣（或下三角矩陣）時，<math>p_A(t) = \prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)</math>，其中 <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為 <math>p_A(t) = t^2 - \mathrm{tr}(A)t + \det (A) </math>。一般而言，若 <math>p_A(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \ldots + a_0</math>，則 <math>a_0 = (-1)^n \det(A)</math>，<math>a_{n-1} = -\mathrm{tr}(A)</math>。

此外：

* 特徵多項式在[[基變更]]下不變：若存在可逆方陣 <math>C</math> 使得 <math>B = C^{-1}AC</math>，則 <math>p_A(t) = p_B(t)</math>。
* 對任意兩方陣 <math>A, B</math>，有 <math>p_{AB}(t) = p_{BA}(t)</math>。一般而言，若 <math>A</math> 為 <math>m \times n</math> 矩陣，<math>B</math> 為 <math>n \times m</math> 矩陣（設 <math>m < n</math>），則 <math>p_{AB}(t) = t^{n-m} p_{BA}(t)</math>
* [[凱萊-哈密頓定理]]：<math>p_A(A)=0</math>。

[[Category:線性代數|T]]
[[Category:矩陣論|T]]
[[Category:多项式|T]]