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在[[數學]]裡，尤其是在[[群表示理論]]裡，一個群表示的'''特徵標'''（{{lang|en|character}}）是指一個將[[群]]的每個元素連結至[[表示 (群)|表示空間]]這個[[域 (數學)|域]]內的每個元素之[[函數]]。特徵標蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。

特徵標理論是對[[有限簡單群分類]]的一個有重要的工具。在[[范特-湯普遜定理]]證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論，如[[伯恩賽德定理]]及[[理查·布勞爾]]和[[鈴木通夫]]所證出之定理，此定理表示有限[[簡單群]]不會有一個為廣義[[四元群]]的[[西洛定理|西洛2-子群]]。

==定義==

設''V''為一個[[域 (數學)|域]]''F''上的[[維度 (向量)|有限維]][[向量空間]]且設<math>\rho\colon G\to\mathrm{GL}(V)</math>為一個群''G''於''V''上的[[群表示|表示]]。則&rho;的'''特徵標'''即為如下給定之函數
:<math>\chi_{\rho}(g) = \mathrm{Tr}(\rho(g))\,</math>
其中<math>\mathrm{Tr}</math>為矩陣的[[跡數]]。

一個特徵標&chi;<sub>&rho;</sub>若被稱為是'''不可約'''的，即表示&rho;是一個[[不可約 (數學)|不可約表示]]。若被稱為是'''線性'''的，則表示&rho;的[[群表示|維度]]等於1。&chi;<sub>&rho;</sub>的'''核'''為集合
:<math>\ker \chi_{\rho} := \left \lbrace g \in G \mid \chi_{\rho}(g) = \chi_{\rho}(1) \right \rbrace </math>
其中<math>\chi_{\rho}(1)</math>是&chi;<sub>&rho;</sub>在群單位元上的值。當&rho;是''G''的''k''維表示且1為''G''的單位元時，
:<math>\chi_{\rho}(1) = \operatorname{Tr}(\rho(1)) = \operatorname{Tr} \begin{bmatrix}1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & 1\end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^k 1 = k = \dim \rho</math> 

和[[特徵標群]]的情況不同，一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。

==拓撲群的情形==
在[[調和分析]]中，通常定義局部緊阿貝爾[[拓撲群]] <math>G</math> 的特徵標為[[連續函數|連續]][[群同態]] <math>\chi: G \to \mathbb{S}^1</math>；在此，<math>\mathbb{S}^1</math> 表示單位圓構成的群，等價地說就是 <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>。

部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 <math>\chi: G \to \mathbb{C}^\times</math>，而將取值在 <math>\mathbb{S}^1</math> 者稱作么特徵標。其他人則保留原初定義，而將這類廣義的特徵標稱為'''擬特徵標'''。

<math>G</math> 的全體特徵標構成一個群 <math>\hat{G}</math>，群二元運算的定義是 <math>(\chi \cdot \eta)(g) = \chi(g) \to \eta(g)</math>，稱為對偶群。[[龐特里雅金對偶性]]總結了對偶群的一般性質。

==性質==

* 特徵標是一個[[類函數]]，即為對一個[[共軛類]]內的所有元素來說，&chi;會是個常數。

* 两个[[同構]]的[[群表示|表示]]會有相同的特徵標。若系数域的特征[[特徵 (代數)|char(''F'')]]=0，则两个表示為同構的，[[若且唯若]]它们有著完全相同的特徵標。

* 若一個表示可以是多個子表示的直和：<math>V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdot \oplus W_r </math>，則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和：<math>\forall g \in G, \ \chi_V (g) = \chi_{W_1} (g) + \chi_{W_2} (g) + \cdot + \chi_{W_r} (g)</math>。

* 在有限群的情况下，每個特徵標<math>\chi\ (g) </math>都是n個m次[[單位根]]之和，其中n為表示內域的維度，m則是g的[[階 (群論)|阶]]。

* 若''F''是[[代数闭域|代數封閉]]的且char(''F'')不可以整除''G''的[[階 (群論)|阶]]|，則''G''的不可約特徵標之數量等於''G''的[[共軛類]]數： <math>|Irr(G)| = |Conj(G)|</math>。

===算術性質===
令<math>\rho</math>和<math>\sigma</math>為''G''的兩個表示，則有下列的等式成立：

:<math>\chi_{\rho \oplus \sigma} = \chi_\rho + \chi_\sigma</math>

:<math>\chi_{\rho \otimes \sigma} = \chi_\rho \cdot \chi_\sigma</math>

:<math>\chi_{\rho^*} = \overline {\chi_\rho}</math>

:<math>\chi_{\textrm{Alt}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ 
\left(\chi_\rho (g) \right)^2 - \chi_\rho (g^2) \right]</math>

:<math>\chi_{\textrm{Sym}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ 
\left(\chi_\rho (g) \right)^2 + \chi_\rho (g^2) \right]</math>

其中<math>\rho \oplus \sigma</math>為兩者的[[直和]]、<math>\rho \otimes \sigma</math>為兩者的[[張量積]]、<math>\rho^*</math>為<math>\rho</math>的[[共軛轉置]]、以及'''Alt'''称为[[外代數|交替積]]<math>\textrm{Alt}^2 \rho = \rho \wedge \rho </math>而'''Sym'''則称为[[對稱代數|對稱方]]，其值由下式決定
:<math>\rho \otimes \rho = \left(\rho \wedge \rho \right) \oplus \textrm{Sym}^2 \rho</math>.

==特徵標的誘導與限制==
設 <math>G</math> 為有限群，<math>H \leq G</math> 為其子群，而 <math>\rho</math> 為 G 的表示，其特徵標記為 <math>\chi</math>。令 <math>\mathrm{Ind}^G_H(\chi)</math> 為誘導表示 <math>\mathrm{Ind}^G_H(\rho)</math> 的特徵標；根據[[弗羅貝尼烏斯互反定理]]，對所有 <math>G</math> 的特徵標 <math>\eta</math>，恆有下述等式
: <math>\langle \mathrm{Ind}^G_H(\chi), \eta \rangle_G = \langle \chi, \eta|_H \rangle_H </math>

此等式可用來刻劃類函數 <math>\mathrm{Ind}^G_H(\chi)</math>。事實上，若選定陪集分解
: <math>G = \bigcup_t Ht </math>
還可以明確地寫下 <math>\mathrm{Ind}^G_H(\chi)</math> 的取值：
: <math>\mathrm{Ind}^G_H(\chi)(g) = \begin{cases}
\sum_{tht^{-1} \in H} \chi(tht^{-1}), \mbox{ if g is conjugate to some h} \in H \\
0, \mbox{ otherwise}
\end{cases}
</math>

==特徵標表==

一個有限群的不可約特徵標可以形成一個'''特徵標表'''，其蘊含著許多有關群''G''在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個''G''的共軛類上的值。

下面是有三個元素之循環群''C''<sub>3</sub>的特徵標表：

{| class="wikitable"
|-
|&nbsp;
|(1)
|(''u'')
|(''u''<sup>2</sup>)
|-
|'''1'''
|1
|1
|1
|-
|&chi;<sub>1</sub>
|1
|u
|u<sup>2</sup>
|-
|&chi;<sub>2</sub>
|1
|u<sup>2</sup>
|u
|-
|}

其中的''u''為一個原三次單位根。

特徵標表總會是正方的，因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是1，其對應至群的'''[[當然表示]]'''上。

===正交關係===

有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著[[正交|正交關係]]。

對特徵標(即對特徵標表中的行)的[[內積]]由下給出：
:<math>\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle := \frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)}</math> 其中 <math>\overline{\chi_j(g)}</math> 表示 <math>\chi_{j}</math>在''g''上的值的複數共軛。

對於此一內積而言，不可約特徵標两两正規正交：
<math>\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle  = \begin{cases} 0  & \text{如 果 }\, i \ne j \\ 1 & \text{如 果 }\, i = j \end{cases}</math>

對表中的列的正交關係則由下列給出：
:對<math>g, h \in G</math>，其和為<math>\frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{\chi_i} \chi_i(g) \overline{\chi_i(h)} = \begin{cases}1/\left | C_G(g) \right | & \mbox{ 如 果 }\, g, h \mbox{ 共 軛 } \\ 0 & \mbox{ 如 果 }\, g, h \mbox{ 不 共 軛 }\end{cases}</math>
其中相加的範圍為所有''G''的不可約特徵標<math>\chi_i</math>，而符號<math>\left | C_G(g) \right |</math>則表示為''g''的共軛類之大小。

此一正交關係可以幫助許多的運算，如：
* 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。
* 當只有一些不可約特徵標為可知時，建構其完整的特徵標表。
* 求出群的共軛類的表示的中心化子的階。
* 求出群的階。

===特徵標表性質===

一個群''G''的某些性質可以由其特徵表中推導出來：

* ''G''的階就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方：(&chi;(1))<sup>2</sup>的總和（[[伯恩赛德公式]]）。
* ''G''是[[阿貝爾群|可換]]的若且唯若對每個在表上的特徵標，&chi;(1) = 1。
* ''G''有一個非當然[[正規子群]](即''G''不是一個[[簡單群]])[[若且唯若]]對於某些表上的非當然特徵標&chi;和一些於''G''內的非單位元素''g''，會有&chi;(1) = &chi;(g)。

特徵標表通常不會將群分至[[群同構|同構]]：例如，[[四元群]]''Q''和有8個元素的[[二面體群]]''D''<sub>4</sub>會有同樣的特徵標表。

對[[有限群]]之特別例子，詳見[[有限群表示理論]]。

一維表示的特徵標會形成一個[[特徵標群]]，其和[[數論]]中有著很重要的關連。

==參考文獻==

* {{cite book | author=Fulton, William; and Harris, Joe | title=Representation Theory, A First Course | publisher=Springer, New York | year=1991 | id=ISBN 978-0-387-97495-8}}  見第2章
* {{cite book | author=Isaacs, I.M. | title=Character Theory of Finite Groups | publisher=Dover | year=1994 | id=ISBN 978-0-486-68014-9}} 1976年原版的修正重印版，由Academic Press所出版 
* {{cite book | author=James, Gordon; and Liebeck, Martin | title=Representations and Characters of Groups (2nd ed.) | year=2001 | publisher=Cambridge University Press | id=ISBN 978-0-521-00392-6}}
* http://planetmath.org/encyclopedia/Character.html
* [https://web.archive.org/web/20061227014757/http://www.mpip-mainz.mpg.de/%7Egelessus/group.html 化學中重要的點群的特徵標表] - 列出了大多數的[[點群]]並其在[[化學]]中使用之符號的特徵標表。


[[Category:群表示论|T]]