查看“狄利克雷原理”的源代码

{{Otheruses|subject=变分法中的结论|other=组合数学中的原理|抽屜原理}} 
在[[数学]]中的[[位势论]]里，'''狄利克雷原理'''是关于在 <math>\mathbb{R}^n</math> 中的某个区域 <math>\Omega</math> 上的[[泊松方程]]
:<math>\Delta u + f = 0\,</math>
满足边界条件
:在 <math> \partial\Omega </math> 上 <math>u=g \,</math>
的解 ''u''(''x'') 的刻画。原理说明，''u''(''x'') 是使得[[狄利克雷势能]]
:<math>E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x</math> 
最小的几乎处处二次可导，并且在边界 <math>\partial\Omega</math> 上满足 <math>v=g</math> 的函数 <math>v</math>（如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家[[約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷|勒热纳·狄利克雷]]。

由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在一个[[下确界]]。[[黎曼]]和其他的数学家都认为下确界一定能够达到，直到[[魏尔斯特拉斯]]举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来[[大卫·希尔伯特|希尔伯特]]严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。

==证明==

以下给出 <math>g=0</math> 时的证明<ref>{{cite book | title =''Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Applications'' | author = Mark.A.Prinsky | publisher = Waveland Pr Inc   | year = 2003| isbn = 978-1577662754  }}</ref>。假设 ''u'' 是使得

:<math>E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x</math>  
最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界<math>\partial\Omega</math>上满足<math>v=0</math>的函数<math>v</math>，那么对于任意一个满足边界条件的函数 <math>w</math>，任意正实数<math>\varepsilon </math>都有：

:<math>E[u+\varepsilon w] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla u + \varepsilon  \nabla w|^2 - uf - \varepsilon w f\right)\,\mathrm{d}x \geqslant  \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla u|^2 - uf\right)\,\mathrm{d}x </math>  

即
:<math> \int_\Omega \left(\varepsilon \nabla u \cdot \nabla w + \frac{1}{2} \varepsilon^2 | \nabla w|^2 - \varepsilon w f\right)\,\mathrm{d}x \geqslant 0 </math>

上式左侧是一个关于<math>\varepsilon </math>的二次多项式，并且在 <math>\varepsilon =0</math> 的时候取到最小值，所以有：
:<math> \int_\Omega \left(\nabla u \cdot \nabla w - w f\right)\,\mathrm{d}x = 0 </math>


另一方面，由于函数 <math>w</math> 满足边界条件，即在 <math>\partial\Omega</math> 上满足 <math>w=0</math>，因此有：
:<math>\begin{align}
 0 &= \int_{\partial\Omega} w \left( \nabla u \cdot \mathbf{n} \right)\,\mathrm{d}\sigma  = \int_{\Omega} \operatorname{div} \left( w \cdot  \nabla u \right)\,\mathrm{d}x \\
&=  \int_{\Omega} \left( w \Delta u +  \nabla u \cdot  \nabla w \right)\,\mathrm{d}x  =  \int_{\Omega}  w \left( \Delta u + f  \right)\,\mathrm{d}x  
\end{align}
</math>


这个结果对所有满足边界条件的函数 <math>w</math> 都成立，因此根据[[變分法基本引理]]，可以得到<math> \Delta u + f = 0</math>

==参见==
* [[普拉托问题]]
* [[格林第一公式]]

==参考来源==
{{reflist}}
{{refbegin}}
*{{citation|last=Courant|first= R.|title=Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer|publisher= Interscience |year= 1950}}
* {{citation | author=Lawrence C. Evans | title=Partial Differential Equations | publisher=American Mathematical Society | year=1998 | isbn=978-0821807729 }}
* {{MathWorld | urlname=DirichletsPrinciple | title=Dirichlet's Principle}}
{{refend}}

[[Category:数学分析]]
[[Category:变分法]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:调和函数]]
[[Category:数学原理]]