查看“狄利克雷级数”的源代码

在[[数学]]中，'''狄利克雷级数'''是如下形式的[[无穷级数]]：
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},</math>

其中''s''是一个[[复数]]，''a''<sub>''n''</sub>是一个[[数列|复数列]]。

'''狄利克雷级数'''在[[解析数论]]中有重要的地位。[[黎曼ζ函数]]和[[狄利克雷L函数]]都可以用狄利克雷级数来定义。有猜测所有的狄利克雷级数组成[[塞尔伯格类]]函数都满足[[广义黎曼猜想]]。狄利克雷级数的名称来源于数学家[[約翰·彼得·狄利克雷]]。

== 例子 ==

最有名的狄利克雷级数要数[[黎曼ζ函数]]了，即数列''a''<sub>''n''</sub>恒等于 1 时的情形。
:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},</math>

另外一个是：
:<math>\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}</math>

其中 ''μ''(''n'') 是[[默比乌斯函数]]。还有很多的狄利克雷级数都可以通过[[默比乌斯倒置算法]]和[[狄利克雷卷积]]得到。比如对于一个给定的[[狄利克雷特征]]<math>\scriptstyle\chi(n)</math>，有
:<math>\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}</math>

其中 <math>L(\chi,s)</math>是一个[[狄利克雷L函数]]。

还有：
:<math>\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}</math> 

其中φ(''n'') 是[[欧拉函数]]。以及：
:<math>\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}</math>
:<math>\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}</math>

其中 σ<sub>''a''</sub>(''n'') 是[[因数函数]]。

其他关于因数函数''d''=σ<sub>0</sub>的等式还有：

:<math> \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s}</math>

:<math> \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}</math>

对于Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;1，ζ函数的对数由下式给出：
:<math>\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}</math>

其中 <math>\scriptstyle \Lambda(n)</math>为 [[馮·曼戈爾特函數]]。

其[[导数]]由下式给出：
:<math>\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.</math>

更广泛的性质如下：对于一个[[刘维尔函数]]，<math>\scriptstyle\lambda(n)</math>，有：
:<math>\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.</math>

另外一个例子是关于[[拉马努贾函数]]：
:<math>\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}</math>。

== 解析性质：收敛轴标 ==
对于一个给定的数列''a''<sub>''n''</sub>}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub>
:<math> f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s} </math>

是一个关于复变量 ''s'' 的函数。为了使得函数有意义，需要考虑使得右端的[[无穷级数]]收敛的''s''。

如果''a''<sub>''n''</sub>}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub>是一个[[有界数列]]，那么''f''在所有Re(''s'') > 1的''s''处[[绝对收敛]]。如果 ''a''<sub>''n''</sub> = O(''n''<sup>''k''</sup>)，那么函数 ''f'' 在所有 Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;''k''&nbsp;+&nbsp;1 的 ''s'' 处（一个半平面）绝对收敛。

如果对任意''n'' 和 ''k'' ≥ 0，和''a''<sub>''n''</sub> + ''a''<sub>''n'' + 1</sub> + ... + ''a''<sub>''n'' + ''k''</sub>有界。那么对 Re(''s'') > 0 的 ''s'' ，函数 ''f'' 收敛。

以上定义的函数 ''f'' 对于定义域中的''s''都是[[解析函数]]。

一般来说，一个狄利克雷函数的收敛轴标是指实轴上的一个数''x<sub>0</sub>''，使得对于复平面上处于直线 ''y''=''x<sub>0</sub>'' 右边的半平面，函数都收敛（有定义）。

一般来说，与狄利克雷级数相对应的函数都可以解析扩展到更广的领域中。

== 导数 ==
对于
:<math>F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}</math>

其中ƒ(''n'')是一个[[完全积性函数]]，并且对于Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;σ<sub>0</sub>，函数收敛，则有：
:<math>\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}</math>

对于Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;σ<sub>0</sub>收敛，其中<math>\scriptstyle\Lambda(n)</math>是[[馮·曼戈爾特函數]]。

== 乘积 ==

对于
: <math> F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s} </math>

以及

: <math> G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}. </math>

如果 ''F''(''s'')和 ''G''(''s'') 分别对 Re''s'' > ''a'' 和 Re''s'' > ''b'' 的 ''s'' 绝对收敛，那么
:当 <math>T \sim \infty. </math>时，<math> \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} </math>
如果 ''a'' = ''b'' 并且 ƒ(''n'') = ''g''(''n'') 则有：

: 当 <math>T \sim \infty. </math>时，<math> \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} </math>

== 参见 ==
* {{Link-en|ζ函數正规化|Zeta function regularization}}
* [[L函數]]
* [[亚纯函数]]
* [[狄利克雷η函数]]

== 参考来源 ==

* Tom Apostol, ''Introduction to analytic number theory'', Springer-Verlag, New York, 1976. 
* G. H. Hardy, and Marcel Riesz, ''The general theory of Dirichlet's series'', Cambridge Tracts in Mathematics, No. '''18''' (Cambridge University Press, 1915).
* [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=01480002&seq=7 The general theory of Dirichlet's series ] by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} [http://www.amazon.com/general-theory-Dirichlet-s-G-Hardy/dp/1429704527/ Cornell University Library Digital Collections]

* {{planetmath reference|title=Dirichlet series|id=4764}}

{{Authority control}}
[[Category:级数]]
[[Category:解析数论]]