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{{noteTA
|G1=物理學
}}
[[理論物理]]中，相對於[[薛丁格方程式]]之於[[量子力學|非相對論量子力學]]，'''狄拉克方程式'''是[[相對論量子力學]]的一項描述[[自旋-1/2|自旋-½]]粒子的[[波函數]][[方程式]]，由[[英国]]物理学家[[保羅·狄拉克]]於1928年建立，不帶矛盾地同時遵守了[[狹義相對論]]與[[量子力學]]兩者的原理，实则为薛定谔方程的洛伦兹协变式。這條方程預言了[[反粒子]]的存在，隨後1932年由[[卡爾·安德森]]發現了[[正电子]](positron)而證實。

帶有[[自旋-1/2|自旋-½]]的自由粒子的'''狄拉克方程式'''的形式如下：
:<math>i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t}  = \left( \frac{\hbar c}{i}\boldsymbol{\alpha \cdot \nabla} +\beta m c^2 \right) \psi (\mathbf{x},t)</math>，
其中<math>m \,</math>是自旋-½粒子的[[質量]]，<math>\mathbf{x}</math>與<math>t</math>分別是[[空間]]和[[時間]]的[[座標]]。

==狄拉克的最初推导==
[[狄拉克]]所希望建立的是一个同时具有[[洛伦兹协变性]]和[[薛定谔方程式]]形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的[[概率密度]]为正值，而不是像[[克莱因-戈尔登方程]]那样存在缺乏物理意义的负值。

考虑無[[場勢]]自由粒子的薛定谔方程式：
:<math> i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t}  = H \psi (\mathbf{x},t) \equiv -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi (\mathbf{x},t)</math>
薛定谔方程式採用的时间項為一阶[[导数]]，而空間項為二階導數，因此不具有洛伦兹协变性。若要符合洛伦兹协变性，很自然地需建構一具有空間項一阶导数的[[哈密顿量]]。

:<math>i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t) }{\partial t} = H \psi (\mathbf{x},t) \equiv \left(c(\alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + \alpha_3 p_3) + \beta mc^2 \right) \psi (\mathbf{x},t) </math>

而[[動量]]算符恰好是空间一阶导数。將動量算符
:<math>p_i=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_i}, i=1,2,3</math>

代入式子中，從而得到
{{Equation box 1
|title='''狄拉克方程式'''（原始版本）
|indent =:
|equation = <math> i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t}  = \left[ \frac{\hbar c}{i} \left( \alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1} + \alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2} + \alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3}\right) + \beta m c^2\right] \psi (\mathbf{x},t) \equiv H \psi (\mathbf{x},t) </math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour=#ECFCF4}}

亦可以向量符號寫為：
:<math>i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t}  = \left( \frac{\hbar c}{i}\boldsymbol{\alpha \cdot \nabla} +\beta m c^2 \right) \psi (\mathbf{x},t)</math>

其中的系数<math> \alpha_i </math>和<math>\beta</math>不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛伦兹协变的。因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶[[矩阵]]以满足洛伦兹协变性。如果系数<math> \alpha_i </math>是矩阵，那么波函数<math>\psi (\mathbf{x},t)</math>也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量

:<math>\psi (\mathbf{x},t)= \begin{pmatrix}
                            \psi_1 (\mathbf{x},t)\\
                            \psi_2 (\mathbf{x},t)\\
                            \psi_3 (\mathbf{x},t)\\
                            \vdots \\
                            \psi_N (\mathbf{x},t)\\
                            \end{pmatrix}</math>

狄拉克把这些列矢量叫做[[旋量]]（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值

:<math>\rho(x) = \psi^\dagger \psi = \sum_{i=1}^N \psi_i^* \psi_i </math>

同时，这些旋量的每一个标量分量<math>\psi_i(\mathbf{x},t)</math>需要满足标量场的[[克莱因-戈尔登方程]]。比较两者可以得出系数矩阵需要满足如下关系:

:<math>\alpha_i\alpha_j + \alpha_j\alpha_i = 2 \delta_{ij}I</math>

:<math>\alpha_i\beta + \beta\alpha_i = 0</math>

:<math>\alpha_i^2 = \beta^2 = I</math>

满足以上条件的系数矩阵<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>[[本征值]]只可以取±1，并且要求是无[[跡數|跡]]的，即矩阵的对角线元素和为零。这样，矩阵的阶数N只能为偶数，即包含有相等数量的+1和-1。满足条件的最小偶数是4而不是2，原因是存在3个[[泡利矩阵]]。也可以用狹義相對論慣用四維矩陣來理解，如四動量。

在不同[[基_(線性代數)|基]]中这些系数矩阵有不同形式，最常见的形式为：
:<math>\beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \quad \alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix} </math>

这里<math>\sigma_i</math>即为[[泡利矩阵]]：
:<math>\sigma_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} \quad\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}</math>

因此系数矩阵<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>可进一步写为：
:<math>\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, </math>

:<math>\alpha_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

按照[[量子场论]]的[[自然單位制]]習慣，設<math>\hbar = c = 1</math>，狄拉克方程可写为：
:<math>i\frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t}  = \left( \frac{1}{i}\boldsymbol{\alpha \cdot \nabla} +\beta m \right) \psi (\mathbf{x},t)</math>

==狄拉克方程的洛伦兹协变形式==

定义四个[[反对易]]矩阵''γ''<sup>μ</sup>，μ=0,1,2,3（稱為[[狄拉克矩陣]]）。其反对易关系为：

:<math>\left\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \right\} = -2\eta^{\mu\nu}</math>，其中''η''<sup>μν</sup>是平直时空的[[度规]]。

:<math>\eta = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>

利用上式可证明

:<math>\left( \gamma^\mu \partial _\mu \right)^2 = \frac{1}{2}\left\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \right\}\partial _\mu \partial _\nu = -\partial _\nu \partial ^\nu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2</math>

因此狄拉克方程式可寫成：
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''狄拉克方程式'''（協變形式）
|equation = <math>i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m c \psi = 0 </math>
|cellpadding
|border
|border colour =#50C878
|background colour = #ECFCF4}}

采取[[自然單位制]]習慣<math>\hbar = c = 1</math>，則可將狄拉克方程式寫成：
:<math>i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m\psi = 0</math>

与上面给出的 '''''α''''', ''β''相对应，可以选择<ref>{{cite web|url=http://physics.sharif.edu/~qmech/puppel.pdf|title=Dirac Equation and Hydrogen Atom}}</ref>：
:<math>\gamma^\mu=(\gamma^0,\boldsymbol\gamma) \equiv (\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3)</math>
:<math>\gamma^0=\beta</math>
:<math>\boldsymbol\gamma=\beta\boldsymbol\alpha</math>，或寫成<math>\gamma^i=\beta \alpha^i, i=1,2,3</math>

若採用[[費曼斜線標記]]，比如[[偏微分]]符號<math>{\partial\!\!\!\big /}</math>（[[英語]]唸作d-slash<ref>see for example Brian Pendleton: [http://www2.ph.ed.ac.uk/~bjp/qt/rqt.pdf Quantum Theory 2012/2013, section 4.3 The Dirac Equation]</ref>）；其將[[狄拉克矩陣]]與各分量做乘積[[愛因斯坦求和約定|求和]]的計算，合併為一標有斜線之符號：
:<math>{\partial\!\!\!\big /} \equiv \gamma^\mu \partial_\mu</math>

可使狄拉克方程式變成：
:<math>i \hbar {\partial\!\!\!\big /} \psi - m c \psi = 0</math>

若同時採用費曼斜線符號及自然單位制{{math|''ħ'' {{=}} ''c'' {{=}} 1}}，狄拉克方程式可寫成一極為簡單的形式：
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''狄拉克方程式'''（自然單位制）
|equation = <math>(i{\partial\!\!\!\big /} - m) \psi = 0\,</math>
|cellpadding
|border
|border colour =#50C878
|background colour = #ECFCF4}}

==狄拉克之海==
{{main|狄拉克之海}}
以狄拉克公式來解釋能量階，會發現每個電子能階會有相對的負能階，但是實驗上普通電子無法帶有負能量，因此狄拉克假設負能量階已被無限的負能電子海佔據，所以觀測的電子無法進入負能階。這假說有許多疑點，尤其是無限的電子海其實有接受更多電子的能階，所以無法防止負能階電子的產生。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

== 相關條目 ==
* [[狄拉克旋量]]
* [[狄拉克場]]
* [[薛丁格方程式]]
* [[克莱因-戈尔登方程]]
* [[包立方程式]]
* [[外爾方程式]]

== 外部連結 ==
*{{en}}[http://www.mathpages.com/home/kmath654/kmath654.htm The Dirac Equation]，於MathPages
*{{en}}[http://www.mc.maricopa.edu/~kevinlg/i256/Nature_Dirac.pdf The Nature of the Dirac Equation, its solutions and Spin]
*{{en}}[http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm  Dirac equation for a spin ½ particle]
*{{en}}[http://www.quantumfieldtheory.info Pedagogic Aids to Quantum Field Theory] 點擊第四章，以閱讀關於狄拉克方程式、旋量等按步驟的物理學介紹。

{{Quantum mechanics topics}}
{{量子场论}}

[[category:量子力学|D]]　　
[[category:量子场论|D]]
[[Category:偏微分方程|D]]