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在[[数学]]和[[量子力学]]中，'''狄拉克算子'''（{{lang-en|Dirac operator}}）是一个[[微分算子]]，它是二阶微分算子（如[[拉普拉斯算子]]）的形式平方根。[[保罗·狄拉克]]研究的原始案例是形式分解[[闵可夫斯基空间]]的算子，得到一种与[[狭义相对论]]兼容的量子理论形式；为了得到由一阶算子产生的拉普拉斯算子，他引入了[[旋量]]。

== 形式定义 ==
一般的，令D是作用于[[黎曼流形]]M上的[[向量丛]]V的一阶微分算子。如果
: <math>D^2=\Delta, \,</math>
其中∆是V上的拉普拉斯算子，则D被称为'''狄拉克算子'''。

在[[高能物理]]中，这个条件经常被放松：只有''D''<sup>2</sup>的二阶部分必须等于拉普拉斯算子。

== 例子 ==
'''例1:''' ''D=-i''∂<sub>''x''</sub>是作用在直线上的切线丛的狄拉克算子。

'''例2:''' 我们现在考虑一个物理学中重要的简单丛：一个限制在平面上带有½自旋的粒子的位形空间，这也是一个基本流形。它被表示为波函数ψ: '''R'''<sup>2</sup>→'''C'''<sup>2</sup>
:: <math>\psi(x,y) = \begin{bmatrix}\chi(x,y) \\ \eta(x,y)\end{bmatrix}</math>
其中x和y是'''R'''<sup>2</sup>上的坐标。χ表示自旋向上粒子的[[機率幅|概率幅]]，η与之类似。所谓的[[自旋狄拉克算子]]可以被写为
:: <math>D=-i\sigma_x\partial_x-i\sigma_y\partial_y,\,</math>
其中σ<sub>''i''</sub> 是[[泡利矩阵]]。通过泡利矩阵的反对易关系可以知道上面定义的性质是显然的。这些定义了[[克利福德代数]]的概念。

旋量场的狄拉克方程的解常被称为调和旋量。

'''例3:''' 描述三维空间中自由[[费米子]]的传播的狄拉克算子可以写为
:: <math>D=\gamma^\mu\partial_\mu\ \equiv \partial\!\!\!/,</math>
其中用到[[费曼斜线标记]]。

'''例4:''' 在{{link-en|克利福德分析|Clifford analysis}}中也有狄拉克算子。 在n维欧几里得空间中是
:: <math>D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}</math>
其中{''e<sub>j</sub>'': ''j'' = 1, ..., ''n''}是n维欧几里得空间的标准正交基，考虑'''R'''<sup>''n''</sup>嵌入一个[[克利福德代数]]。

这是[[阿蒂亚-辛格-狄拉克算子]]作用于[[旋量丛]]的特殊情形。

'''例5:''' 对于一个{{link-en|自旋流形|spin manifold}}，''M''，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子局部定义如下：对于''x''∈''M''和''M''在x处的切空间的局部标准正交基''e<sub>1</sub>''(''x''), ..., ''e<sub>j</sub>''(''x'')，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子是
:: <math>\sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)}</math>,
其中<math>\tilde{\Gamma}</math>是从''M''上的[[列维-奇维塔联络]]到''M''上的[[旋量丛]]的提升。

== 推广 ==
在克利福德分析中，算子''D'': ''C''<sup>∞</sup>('''R'''<sup>''k''</sup> ⊗ '''R'''<sup>''n''</sup>,''S'')→''C''<sup>∞</sup>('''R'''<sup>''k''</sup> ⊗'''R'''<sup>''n''</sup>,'''C'''<sup>''k''</sup> ⊗''S'')作用在如下定义的旋量值函数
: <math>f(x_1,\ldots,x_k)\mapsto
\begin{pmatrix}
\partial_{\underline{x_1}}f\\
\partial_{\underline{x_2}}f\\
\ldots\\
\partial_{\underline{x_k}}f\\
\end{pmatrix}</math>

有时被称为''k''克利福德变量的狄拉克算子。上面符号中，是旋量空间，''S''是旋量空间，<math>x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in})</math> 是n维变量，<math>\partial_{\underline{x_i}}=\sum_j e_j\cdot \partial_{x_{ij}}</math>是狄拉克算子在第''i''个变量的分量。这是狄拉克算子（''k=1''）和{{link-en|杜比尔特算子|Dolbeault operator}}（''n=2''，''k'' 任意）的一般推广。这是一个{{link-en|不变微分算子|invariant differential operator}}，在群SL(''k'')×Spin(''n'')的作用下不变。''D''的{{link-en|分解|resolution}}只在一些特殊情形是已知的。

== 另请参阅 ==
{{colbegin}}
*[[狄拉克方程]]
*[[克利福德代数]]
*{{link-en|克利福德分析|Clifford analysis}}
*[[联络]]
*{{link-en|杜比尔特算子|Dolbeault operator}}
*[[热核]]
*[[旋量丛]]
{{colend}}

== 参考资料 ==
{{reflist}}
* {{citation | last1=Friedrich|first1=Thomas| title = Dirac Operators in Riemannian Geometry| publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2000|isbn=978-0-8218-2055-1}}
* {{citation | last1=Colombo, F.|first1=I.| last2=Sabadini |first2=I. | title = Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra| publisher=Birkhauser Verlag AG | year=2004|isbn=978-3-7643-4255-5}}

[[Category:微分算子]]
[[Category:数学物理]]
[[Category:量子力学]]