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{{NoteTA|G1=Math}}

'''环'''（{{lang|en|Ring}}）是由集合R和定义于其上的两种二元运算（记作+和·，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。

环的定義类似于[[交换群]]，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「·」（注意我们这里所说的 + 與 · 一般不是我们所熟知的四则运算[[加法]]和[[乘法]]）。在[[抽象代数]]中，研究'''环'''的分支为[[环论]]。

== 定义 ==
集合R和定义于其上的二元运算 + 和·，(R, +, ·)构成一个'''环'''，若它们满足：
# (R, +)形成一个[[阿贝尔群|交换群]]，其单位元称为'''零元素'''，记作‘0’。即：
#* (R, +)是封闭的
#* (a + b) = (b + a)
#* (a + b) + c = a + (b + c)
#* 0 + a = a + 0 = a
#* ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
# (R, ·)形成一个[[半群]]。即：
#* (R, ·)是封闭的
#* (a·b)·c = a·(b·c)
# 乘法关于加法满足分配律。即：
#* a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
#* (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

其中，乘法运算符·常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

=== 基本性质 ===
考虑一个环R，根据环的定义，易知R有以下性质：
* ∀a∈R，a·0 = 0·a = 0；（这也是为什么0作为加法群的单位元，却被称为“零元素”）'
證明:a·0 = a·(0 + 0) (環的結合律) = a·0 + a·0 => a·0 - a·0 = a·0 + a·0 - a·0 (環有加法反元素) => 0 = a·0 ； 0·a 同理 
* ∀a，b∈R，(-a)·b = a·(-b) = -(a·b)；
證明: (-a)·b = (-a)·b + (a·b) - (a·b) = (-a + a)·b - (a·b) (環的結合律) = 0·b - (a·b) = -(a·b) ； a·(-b) 同理，故(-a)·b = -(a·b) =  a·(-b)

== 环的相关概念 ==
=== 特殊的环 ===
;幺环
:若环R中，(R, ·)构成[[幺半群]]。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为'''幺环'''。此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。

;交换环
:若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成[[交换半群]]，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为'''交换环'''。

;无零因子环
:若R中没有非0的零因子，则称R为为'''无零因子环'''。
* 此定义等价于以下任何一条：
** R\{0}对乘法形成半群；
** R\{0}对乘法封闭；
** R中非0元素的乘积非0；

;[[整环]]
:无零因子的交换幺环称为'''整环'''。
例：整数环，多项式环

;[[唯一分解环]]
:若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是'''唯一分解环'''.

;[[除环]]
:若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个[[群]]，即：∀a∈R\{0}，∃a<sup>-1</sup>∈R\{0}，使得a<sup>-1</sup>·a=a·a<sup>-1</sup>=1。则R称为'''除环'''。
* 除环不一定是交换环。反例：[[四元数]]环。
* 非交换的除环是[[體]]。
* 交换的除环是[[域]]。

;[[主理想环]]
:每个理想都是主理想的整环称为'''主理想环'''。

;[[单环]]
:若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为'''单环'''。

;[[商环]]
{{empty section}}
;[[質环]]
{{empty section}}

== 例子 ==
* '''集环'''：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
** R对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
** R对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
** R对集合的交，差以及无交并运算封闭。
:这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是[[布尔环]]。
* [[整数|整数环]]是一个典型的交换且含单位环。
* [[有理数|有理数环]]，[[实数|实数域]]，[[复数|复数域]]都是交换的含单位元环。
* 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的[[多项式#正式定義|多项式环]]。
* n为正整数，所有n×n的实数[[矩阵]]构成一个环。

== 环的理想 ==
{{main|理想 (环论)|l1=理想}}

考虑环(R, +, ·)，依环的定义知(R, +)是[[阿贝尔群]]。集合I ⊆ R，考虑以下条件：
# (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
# ∀i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。
# ∀i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。
若I满足条件1，2则称I是R的'''右理想'''；
若I满足条件1，3则称I是R的'''左理想'''；
若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的'''双边理想'''，简称'''理想'''。

=== 示例 ===
* 整数环的理想：整数环'''Z'''只有形如{nZ}的理想。

=== 基本性质 ===
* 在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。
* 在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。
* 对于环R的两个理想A，B，记<math> AB=\left\{ \sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}| a_{k} \in A,b_{k} \in B \right\}</math>。则由定义易知：
*# 若A是R的左理想，则AB是R的左理想；
*# 若B是R的右理想，则AB是R的右理想；
*# 若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

=== 相关概念 ===
;真（左，右，双边）理想
:若R的（左，右，双边）理想I满足：I是R的[[真子集]]，I称为R的'''真（左，右，双边）理想'''。

;极大（左，右，双边）理想
:环R及其真（左，右，双边）理想I，I被称为R的极大（左，右，双边）理想，若不存在R的真（左，右，双边）理想J,使得I是J的[[真子集]]。
:* 若 I 是极大（左，右）理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
:* 极大双边理想不一定是极大（左，右）理想。

;生成理想
:环R，A ⊆ R，定义<A>=RA+AR+RAR+ZA，则易知：
:* <A>是环R的理想，并且<A>是R中所有包含子集A的理想的交,即<A>是R中包含子集A的最小理想。
:称<A>为'''由子集A生成的理想'''，A称为<A>的'''生成元集'''。当A是有限集时，<A>称为R的'''有限生成理想'''。
:* 下面是生成理想的几种特殊情况：
:*# 当R是交换环时，<A>=RA+ZA
:*# 当R是幺环时，<A>=RAR
:*# 当R是交换幺环时，<A>=RA
:* 同一个理想，其生成元集可能不唯一。

;主理想
:由环R中单个元素生成的理想称为R的'''主理想'''。即，设a ∈ R，则<{a}>称为R的主理想。

;素理想
:真理想I被称为R的素理想，若∀理想A，B ⊆ R，AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或 B ⊆ I。
;素环
:若环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：<math>R/I</math>是素环.
;半素理想
:环R的真理想I，若∀理想A，A<sup>2</sup> ⊆ I ⇒ A ⊆ I。则称 I 是环R的'''半素理想'''。
* 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。
:* 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是'''[[单环]]'''。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
:* 定理1 在整数环'''Z'''中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
:* 定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：[[商环]]<math>R/I</math>是域。
:* 定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有<math>I+J=R</math>。

== 有关环的其它概念 ==

* '''零因子''' （zero divisor）：{{main|零因子}}
:设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。通称零因子；

{{ModernAlgebra}}

[[Category:环论|*]]
[[Category:代数结构|H]]