查看“球 (数学)”的源代码

{{Expert|subject=數學}}

[[File:Sphere wireframe.svg|thumb|在[[歐氏空間]]裡，'''球'''是指球面的內部。]]

在[[數學]]裡，'''球'''是指[[球面]]內部的空間。球可以是[[閉集|封閉]]的（包含球面的[[邊界點]]，稱為'''閉球'''），也可以是[[開集|開放]]的（不包含邊界點，稱為'''開球'''）。

球的概念不只存在於三維[[歐氏空間]]裡，亦存在於較低或較高維度，以及一般[[度量空間]]裡。<math>n\,\!</math>維空間裡的球稱為<math>n\,\!</math>維球，且包含於<math>n-1\,\!</math>維球面內。因此，在[[二維空間|歐氏平面]]裡，球為一[[圓盤]]，包含在[[圓]]內。在[[三維空間]]裡，球則是指在二維[[球面]]邊界內的空間。

==歐氏空間裡的球==
在 <math>n\,\!</math> 維歐氏空間裡，一個中心為 <math>x\,\!</math> ，半徑為 <math>r\,\!</math> 的 <math>n\,\!</math> 維（開）球是個由所有距 <math>x\,\!</math> 的距離小於 <math>r\,\!</math> 的點所組成之集合。一個中心為 <math>x\,\!</math>，半徑為 <math>r\,\!</math> 的 <math>n\,\!</math> 維閉球是個由所有距 <math>x\,\!</math> 的距離小於等於 <math>r\,\!</math> 的點所組成之集合。

在 <math>n\,\!</math> 維歐氏空間裡，每個球都是某個[[超球面]]內部的空間。在一維時，球是個有界的[[區間]]；在二維時，是某個[[圓]]的內部（[[圓盤]]）；而在三維時，則是某個[[球面]]的內部。

===體積===
: {{main|n維球的體積}}

在 <math>n\,\!</math> 維歐氏空間裡，半徑 <math>R\,\!</math> 的球之 <math>n\,\!</math> 維體積為<ref>{{cite web |url=http://dlmf.nist.gov/5.19 |title=NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.19(iii) n-Dimensional Sphere}}</ref>：
:<math>V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n,</math>
其中，Γ是[[李昂哈德·歐拉]]的[[Γ函數]]（可被視為[[階乘]]在[[實數]]的延伸）。使用Γ函數在整數與半整數時的公式，可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積：
:<math>V_{2k}(R) = \frac{\pi^k}{k!}R^{2k},</math>
:<math>V_{2k+1}(R) = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}R^{2k+1} = \frac{2(k!)(4\pi)^k}{(2k+1)!}R^{2k+1}.</math>
在奇數維度時的體積公式裡，對每個奇數<math>2k+1\,\!</math>，[[雙階乘]] (2k + 1)!! 定義為 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

==一般度量空間裡的球==
令 (M,d) 為一[[度量空間]]，即具有[[度量 (數學)|度量]]（距離函數）d 的集合 M。中心為 M 內的點 p，半徑為 r > 0 的開球，通常標計為 {{var|B}}<sub>{{var|r}}</sub>({{var|p}}) 或 {{var|B}}({{var|p}};&nbsp;{{var|r}})，定義為

:<math>B_r(p) = \{ x \in M \mid d(x,p) < r \},</math>

其閉球，可標計為 {{var|B}}<sub>{{var|t}}</sub>[{{var|p}}] 或 {{var|B}}[{{var|p}};&nbsp;{{var|r}}]，則定義為

:<math>B_r[p] = \{ x \in M \mid d(x,p) \le r \}.</math>

請特別注意，一個球（無論開放或封閉）總會包含點 p，因為依定義， r > 0。

開球的[[閉包]]通常標記為 <math>\overline{ B_r(p) }</math>。雖然 <math>B_r(p) \subseteq \overline{ B_r(p) }</math> 與 <math>\overline{ B_r(p) } \subseteq B_r[p]</math> 總是成立的，但 <math>\overline{ B_r(p) } = B_r[p]</math> 則不一定總是為真。舉例來說，在一個具[[離散空間|離散度量]]的度量空間 X 裡，對每個 X 內的 p 而言，<math>\overline{B_1(p)} = \{p\}</math>，但 <math>B_1[p] = X</math>。

一個（開或閉）[[單位球]]為一半徑為 1 的球。

度量空間的子集是[[有界集合|有界]]的，若該子集包含於某個球內。一個集合是[[全有界空間|全有界]]的，若給定一正值半徑，該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。

[[度量空間]]裡的開球為[[拓撲空間]]裡的[[基 (拓撲學)|基]]，其中所有的開集合均為某些（有限或無限個）開球的[[聯集]]。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。

==賦範向量空間裡的球==
每個具範數 |·| 的[[賦範向量空間]]亦為一度量空間，其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裡，每個球 {{var|B}}<sub>{{var|r}}</sub>({{var|p}}) 均可視為是[[單位球]] {{var|B}}<sub>1</sub>(0) 平移 p，再縮放 r 後所得之集合。

前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。

===p-範數===
在具 p-範數 {{var|L}}<sub>{{var|p}}</sub> 的[[笛卡兒座標系|笛卡爾空間]] <math>\R^n</math> 裡，開球是指集合

: <math>B(r) = \left\{ x \in \R^n \,:\, \sum_{i=1}^n \left|x_i\right|^p < r^p \right\}.</math>

在二維（n=2）時，{{var|L}}<sub>1</sub>（通常稱為[[曼哈頓度量]]）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 {{var|L}}<sub>∞</sub>（[[切比雪夫距離|切比雪夫度量]]）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值，該球則會是[[超橢圓]]的內部。

在三維（n=3）時，{{var|L}}<sub>1</sub> 的球是個對角線平行為坐標軸的[[八面體]]，而 {{var|L}}<sub>∞</sub> 的球則是個邊平行為坐標軸的[[正立方體]]。對於 p 的其他值，該球則會是[[超橢球]]的內部。

===一般凸範數===
更一般性地，給定任一 {{var|R}}<sup>{{var|n}}</sup> 內[[點反演|中心對稱]]、[[有界集合|有界]]、[[開集合|開放]]且[[凸集合|凸]]的集合 X，均可定義一個在 {{var|R}}<sup>{{var|n}}</sup> 的[[範數]]，該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義 {{var|R}}<sup>{{var|n}}</sup> 內的範數。

==拓撲空間裡的球==
在[[拓撲學]]的文獻裡，「球」可能有两種含义，由上下文决定。
===開集===

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何[[开集]]：可以用“''p'' 点周围的一个球”代表包含''p'' 的一个开集。该集合[[同胚]]于什么依赖于背景[[拓扑空间]]以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的[[闭包]]。（这可能产生误导，例如[[超度量]]空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，[[邻域]]用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：''p'' 的一个邻域是任何包含一个''p'' 的开集的集合，因此通常不是开集。

===拓撲球===

X 內的 n 維（開或閉）拓撲球是指 X 內[[同胚]]於 n 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個[[度量 (數學)|度量]]導出。n 維拓撲球在[[組合拓撲學]]裡很重要，為建構[[胞腔復形]]的基礎。

任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 '''R'''<sup>{{var|n}}</sup> 及 n 維開[[超方形|單位超方形]] <math>(0,1)^n \subseteq \R^n</math>。任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 [0,&nbsp;1]<sup>{{var|n}}</sup>。

n 維球同胚於 m 維球，若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 '''R'''<sup>{{var|n}}</sup> 間的同胚可分成兩種類型，以 B 的兩種可能之[[定向 (向量空間)|拓撲定向]]來區分。

一個 n 維拓撲球不一定是[[微分流形|光滑]]的；若該球是光滑的，亦不一定需[[微分同胚]]於一 n 維歐幾里得球。

==另見==
* [[球 (體育)|球]] - 一般常見的意義
* [[圓盤]]
* [[形式球]]，將球的半徑延伸至負值。
* [[鄰域]]
* [[三維球面]]
* [[n維球面]]（超球面）
* {{le|亞歷山大帶角球|Alexander horned sphere}}
* [[流形]]
* {{le|n維球的體積|Volume of an n-ball}}
* [[正八面體]]，<math>\ell_1</math> 度量下的三維球

* {{le|球殼|Spherical shell}}
* [[橢球]]
* [[球缺]]
* [[半球]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
*D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", ''[[Mathematics Magazine]]'', 62 (1989) 101–107.
*"Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [http://www.citebase.org/fulltext?format=application/pdf&identifier=oai:arXiv.org:hep-th/9506042]
*"Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[http://www.springerlink.com/content/0v74h15104232532/]

== 参见 ==
{{Portal box|数学}}

{{-}}
{{几何术语}}

[[Category:拓扑学|Q]]
[[Category:度量几何|Q]]
[[category:欧几里得几何|Q]]