查看“瓦尼尔函数”的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}
{{向量字體常規}}
[[File:N2_Wannier.png|缩略图|288x288像素|氮化钯（PdN<sub>2</sub>）中[[二聚体]]氮所形成的三键和单键的瓦尼尔函数。]]
'''瓦尼尔函数'''（{{lang-en|'''Wannier function'''}}，或'''沃尼埃函数'''），是[[固体物理学]]中的一个[[正交]]函数的[[完备]]集，由{{le|格里高利·瓦尼尔|Gregory Wannier}}提出<ref name="Wannier1937">[[doi:10.1103/PhysRev.52.191|"The structure of electronic excitation levels in insulating crystals," G. H. Wannier, Phys.]]</ref><ref name="Wannier1962">[http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.34.645 "Dynamics of Band Electrons in Electric and Magnetic Fields", G. H. Wannier, Rev.]</ref>。瓦尼尔函数在[[晶系]]中对应着局域化[[分子轨道]]。

[[晶体]]中不同晶位的瓦尼尔函数所具有的正交性，使得对特定区域中的电子[[量子態|态]]进行展开时可以构造出便于计算的[[基组]]。瓦尼尔函数的应用极其广泛，例如对电子结合能的分析<ref name="Arxiv-Localization">[http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0606726 Marzari ''et al.'': Exponential localization of Wannier functions in insulators]</ref>，在对[[激子]]以及{{le|里德伯物质|Rydberg matter}}的分析中也有其特定的应用。

== 定义 ==
[[File:WanF-BaTiO3.png|右|缩略图|274x274像素|[[钛酸钡]]中的瓦尼尔函数]]

诚然，正如{{le|局域化分子轨道|localized molecular orbitals}}，瓦尼尔函数也有许多选取的方式<ref>[http://www.psi-k.org/newsletters/News_57/Highlight_57.pdf Marzari ''et al.'': An Introduction to Maximally-Localized Wannier Functions]</ref>，但最原始的<ref name=Wannier1937/>，最简单的，且最常见的定义如下：

选定晶体中的某单一[[能带结构|能带]]，将其[[布洛赫波|布洛赫态]]标记为
:<math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math>
其中 <math>u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math> 的周期性和晶体的相同。于是瓦尼尔函数就被定义为
:<math>\phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math>,

* '''R''' 表示任意格矢（即对于每一[[布拉菲晶格|布拉菲格矢]]都有一与其对应的瓦尼尔函数）；
* <math>N</math> 为晶格中原胞的数量；
* 对 '''k''' 的求和包含[[布里渊区]]（或[[倒易点阵]]中满足[[周期性边界条件]]的原胞）中的 <math>N</math> 个不同的 '''k'''，均匀地分布在整个布里渊区内。由于 <math>N</math> 的值通常较大，为了简化运算会使用如下关系来把此求和化为积分：
::<math>\sum_{\mathbf{k}} \longleftarrow \frac{N}{\Omega} \int_\text{BZ} d^3\mathbf{k}</math>
:其中的“BZ”表示布里渊区，其体积为Ω。

=== 性质 ===

在此定义的基础上，瓦尼尔函数被证明具有以下的性质：<ref name=Bohm>{{cite book |title=The Geometric Phase in Quantum Systems |author=A Bohm, A Mostafazadeh, H Koizumi, Q Niu and J Zqanziger |isbn=3-540-00031-3 |publisher=Springer |year=2003 |url=http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-662-10333-3 |pages=§12.5, p. 292 ff}}</ref>

* 对于任意格矢 ''' R' '''，
::<math>\phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r}) = \phi_{\mathbf{R}+\mathbf{R}'}(\mathbf{r}+\mathbf{R}')</math>
:换言之，瓦尼尔函数只与 ('''r''' − '''R''') 有关。于是瓦尼尔函数常被写作如下替代形式：
::<math>\phi(\mathbf{r}-\mathbf{R}) := \phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})</math>

* 借助瓦尼尔函数，布洛赫函数可被写作如下形式：
::<math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})</math>
:其中的求和符号是对晶体中每一格矢 '''R''' 求和。

* 波函数集 <math>\phi_{\mathbf{R}}</math> 是一组[[标准正交基]]。
::<math>\int_\text{crystal}  \phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})^* \phi_{\mathbf{R'}}(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r} = \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k,k'}}\int_\text{crystal} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})^*  e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{R'}} \psi_{\mathbf{k'}}(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r} =  \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k,k'}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{R'}} \delta_{\mathbf{k,k'}} = \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{(R'-R)}}=\delta_{\mathbf{R,R'}} </math>

:这一性质也使瓦尼尔函数被推广到了对近周期性势问题的求解中<ref name=Kohn0>[http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.48.14085 MP Geller and W Kohn] ''Theory of generalized Wannier functions for nearly periodic potentials'' Physical Review B 48, 1993</ref>。

=== 局域化 ===

定义布洛赫态 <math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math> 为某特定[[哈密顿算符]]的本征函数，包含一个“总体的”相位。若对 <math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math> 乘上相位 <math>e^{i \theta (\mathbf{k})}</math>，对于任意（实）函数 <math>\theta (\mathbf{k})</math>，总可以得到另一组等价满足此特定哈密顿算符的波函数。相比原先的波函数，乘上此相位对布洛赫态的性质不产生影响，但其对应的瓦尼尔函数会因此发生改变。

借助上述性质，通过人为选定布洛赫态的相位，可构造出一组最能简化计算的瓦尼尔函数。在实践中，这样的瓦尼尔函数常常是极大局域化的（maximally-localized），意思是瓦尼尔函数 <math>\phi_{\mathbf{R}}</math> 被局限于点 '''R''' 周围；当远离位置 '''R''' 时，函数值迅速趋向于零。对于一维的情况，Kohn<ref name=Kohn1>[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.115.809 W. Kohn], ''Analytic Properties of Bloch Waves and Wannier Functions'', Phys. Rev. '''115''', 809 (1959)</ref>证明了总是存在唯一的选择可满足上述性质（基于特定的对称性）。对于多维（二维及以上），此方法可用于任何[[可分離變數的偏微分方程|可对其使用分离变量法的势]]；但对于一般的高维情况，还需要进一步的研究<ref name=Arxiv-Localization/>。

最近的研究<ref name=Jonsson2016>[http://arxiv.org/abs/1608.06396 E. Ö. Jónsson, S. Lehtola, M. Puska, and H. Jónsson: Generalized Pipek-Mezey orbital localization method for electronic structure calculations employing periodic boundary conditions]</ref>提出可用{{le|Pipek-Mezey|Localized molecular orbitals#Pipek-Mezey}}形式的局域化方案构造瓦尼尔函数。对比于极大局域化的瓦尼尔函数（即{{le|Foster-Boys|Localized molecular orbitals#Foster-Boys}}方案在晶系中的应用），Pipek-Mezey函数中没有σ轨道和π轨道的混合。

== 现代的极化理论 ==

最近的研究将瓦尼尔函数应用到描述晶体中的[[电极化|极化]]现象中，例如[[铁电性]]。电极化的现代理论解释是由Raffaele Resta和David Vanderbilt提出的，参见Berghold<ref name=Berghold>[http://prola.aps.org/abstract/PRB/v61/i15/p10040_1 Gerd Berghold ''et al.''] ''General and efficient algorithms for obtaining maximally localized Wannier functions''</ref>，和Nakhmanson<ref name=Nakhmanson>[http://arxiv.org/abs/cond-mat/0305329v1 SM Nakhmanson ''et al.''] Spontaneous polarization and piezoelectricity in boron nitride nanotubes, 2008</ref>所发表的文章，以及Vanderbilt<ref name=Vanderbilt>[http://www.physics.rutgers.edu/~dhv/talks/rahman.pdf  D Vanderbilt] ''Berry phases and Curvatures in Electronic Structure Theory''.</ref>的介绍。固体中每一单位晶胞的极化强度可被定义为瓦尼尔电荷密度的[[电偶极矩]]：
:<math>\mathbf{p_c} = -e \sum_n \int\ d^3 r \,\, \mathbf{r} |W_n(\mathbf{r})|^2</math>
其中的求和符号是对所有占据能带的求和，<math>W_n(\mathbf{r})</math> 指的是对于能带 n 局域于晶胞中的瓦尼尔函数。在连续的物理过程中，极化强度的变化即为极化的时间导数，可用布洛赫占有态的[[贝里相位]]确切地阐述。<ref name=Bohm/><ref name=Resta>{{cite book |author=C. Pisani |title=Quantum-mechanical Ab-initio Calculation of the Properties of Crystalline Materials |isbn=3-540-61645-4 |year=1994 |publisher=Springer |edition=Proceedings of the IV School of Computational Chemistry of the Italian Chemical Society |page=282 |url=https://books.google.com/books?id=5ak5TwSLreAC&pg=PA282&dq=%22Berry+connection%22}}</ref>

== 参见 ==
* {{le|轨道磁化|Orbital magnetization}}
* [[布洛赫波]]
* {{le|Hannay角|Hannay angle}}
* {{le|几何相位|Geometric phase}}

== 参考文献 ==
{{Reflist|2}}

== 拓展阅读 ==
* {{en}}{{cite book |title=Physics of Ferroelectrics: a Modern Perspective |author1=Karin M Rabe |author2=Jean-Marc Triscone |author3=Charles H Ahn |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=CWTzxRCDJdMC&pg=PA43&dq=%22Berry+connection%22#PPA2,M1 |publisher=Springer |year=2007 |isbn=3-540-34590-6}}

== 外部链接 ==
* {{en}}[http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.52.191 "The structure of electronic excitation levels in insulating crystals," G. H. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937)]
* {{en}}[http://wannier.org Wannier90 computer code that calculates maximally localized Wannier functions]
* {{en}}[http://www.wannier-transport.org/ Wannier Transport code that calculates maximally localized Wannier functions fit for Quantum Transport applications]

{{DEFAULTSORT:Wannier function}}
[[Category:计算物理学]]
[[Category:凝聚体物理学]]