查看“电势能”的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}
{{向量字體常規}}
在[[靜電學]]裏，'''電勢能'''（{{lang|en|Electric potential energy}}）是處於[[電場]]的[[電荷]]分佈所具有的[[勢能]]，與電荷分佈在系統內部的組態有關。電勢能的單位是[[焦耳]]。電勢能與[[電勢]]不同。電勢定義為處於電場的電荷所具有的電勢能每[[單位電荷]]。電勢的單位是[[伏特]]。

電勢能的數值不具有絕對意義，只具有相對意義。所以，必須先設定一個電勢能為零的參考系統。當物理系統內的每一個點電荷都互相分開很遠（分開距離為無窮遠），都相對靜止不動時，這物理系統通常可以設定為電勢能等於零的參考系統。<ref name="HRW1997">{{cite book |last=Halliday |first=David |coauthors=Resnick, Robert; Walker, Jearl |title=Fundamentals of Physics |edition=5th |year=1997 |publisher=John Wiley & Sons |chapter=Electric Potential |isbn=0-471-10559-7}}</ref>{{rp|§25-1}}假設一個物理系統裏的每一個點電荷，從無窮遠緩慢地被遷移到其所在位置，總共所做的[[機械功]]為 <math>W</math> ，則這物理系統的電勢能 <math>U</math> 為 
:<math>U =W</math> 。

在這過程裏，所涉及的機械功 <math>W</math> ，不論是正值或負值，都是由這物理系統之外的機制賦予，並且，緩慢地被遷移的每一個點電荷，都不會獲得任何動能。

如此計算電勢能，並沒有考慮到移動的路徑，這是因為電場是[[保守力|保守場]]，電勢能只跟初始位置與終止位置有關，與路徑無關。

==計算電勢能== 
在一個物理系統內，計算一個點電荷所具有的電勢能的方法，就是計算將這點電荷Q從無窮遠位置遷移到其它固定位置電荷附近所需要做的機械功。而這計算只需要兩項資料：
#其它電荷所產生的電勢。
#這點電荷Q的電荷量。

注意到這計算不需要知道其它電荷的電荷量，也不需要知道這點電荷Q所產生的電勢。

==儲存於點電荷系統內的電勢能==
===單點電荷系統===
只擁有單獨一個點電荷的物理系統，其電勢能為零，因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷，所以，將點電荷從無窮遠移動至其最終位置，外機制不需要對它做任何機械功。特別注意，這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而，由於在點電荷的位置，它自己生成的電場為無窮大，所以，在計算系統的有限總電勢能之時，一般刻意不將這「自身能」納入考量範圍之內，以簡化物理模型，方便計算。

===雙點電荷系統===
[[File:PotentialEnergy Electrostatic Positive.png|frame|right|一個質子受到的另一個質子的電場力和電勢能隨 <math>r</math>  變化的示意圖。]]
思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷 <math>q_1</math> 的位置為坐標系的[[原點]] <math>\mathbf{O}</math> ，則根據[[庫侖定律]]，點電荷 <math>q_1</math> 施加於位置為 <math>\mathbf{r}</math> 的第二個點電荷 <math>q_2</math> 的[[電場力]]為
:<math>\mathbf{F}_{c}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}</math> ；

其中，<math>\epsilon_0</math>  是[[電常數]]。

在遷移點電荷 <math> q_2 </math> 時，為了要抗拒電場力，外機制必需施加作用力 <math>-\mathbf{F}_{c}</math> 於點電荷 <math> q_2 </math> 。所以，機械功 <math>W</math> 為
:<math>W=-\int_{\mathbb{L}}\mathbf{F}_{c}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{L}} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> 。

由於庫侖力為[[保守力]]，機械功與積分路徑 <math>\mathbb{L}</math> 無關，所以，可以選擇任意一條積分路徑。在這裡，最簡單的路徑為從無窮遠位置朝著 <math>-\hat{\mathbf{r}}</math> 方向遷移至 <math>\mathbf{r}</math> 位置的直線路徑。那麼，機械功為
:<math>W=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\infty}^{r}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r}</math> 。

這機械功是無窮遠位置與 <math>\mathbf{r}</math> 位置之間的靜電能差別：
:<math>W=U(\mathbf{r})-U(\infty)</math> 。

設定 <math>U(\infty)=0</math> ，則
:<math>U(\mathbf{r})=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r}</math> 。

現在，假設兩個點電荷的位置分別為 <math>\mathbf{r}_1</math> 、<math>\mathbf{r}_2</math> ，則電勢能為
:<math>U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{r_{12}}</math> ；

其中，<math>r_{12}=|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|</math> 是兩個點電荷之間的距離。

假設兩個點電荷的正負性相異，則電勢能為負值，兩個點電荷會互相吸引；否則，電勢能為正值，兩個點電荷會互相排斥。

===三個以上點電荷的系統===
對於三個點電荷的系統，外機制將其每一個單獨點電荷，一個接著一個，從無窮遠位置遷移至最終位置，所需要做的機械功，就是整個系統的靜勢能。以方程式表示，
:<math>U= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right) </math> ；

其中，<math>q_1,q_2,q_3</math> 為點電荷，<math>r_{ij}</math> 為第i個與第j個點電荷之間的距離。

按照這方法演算，對於多個點電荷的系統，按照順序，從第一個點電荷到最後一個點電荷，各自緩慢遷移到最後對應位置。在第 <math>i</math> 個點電荷 <math>q_i</math> 遷移時，只會感受到從第 <math>1</math> 個點電荷到第 <math>i-1</math> 個點電荷的電場力，而機械功 <math>W_i</math> 是因為抗拒這些電場力而做出的貢獻：
:<math>W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}</math> 。

所有點電荷做出的總機械功（即總電勢能）為<ref name=Jackson1999/>
:<math>U=W=\sum_{i=1}^n W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}</math> 。

將每一個項目重覆多計算一次，然後將總合除以 <math>2</math> ，這公式也可以表達為，
:<math>U= \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}</math> 。

這樣，可以忽略點電荷的遷移順序。

注意到除了點電荷 <math>q_i</math> 以外，所有其它點電荷產生的電勢在位置 <math>\mathbf{r}_i</math> 為
:<math>\phi(\mathbf{r}_i)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_j}{r_{ij}}</math> 。

所以，離散點電荷系統的總電勢能為
:<math>U= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_i \phi(\mathbf{r}_i)</math> 。

*上述方程式假設電介質是[[自由空間]]，其[[電容率]]為 <math>\epsilon_0</math> ，即電常數。假設電介質不是自由空間，而是電容率為 <math>\epsilon</math> 的某種電介質，則必需將方程式內的 <math>\epsilon_0</math> 更換為 <math>\epsilon</math> 。

== 儲存於連續電荷分佈的能量 ==
對於連續電荷分佈，前面的電勢能方程式變為<ref name=Jackson1999/>
:<math>U= \frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r</math> ；

其中，<math>\rho(\mathbf{r})</math> 是在源位置 <math>\mathbf{r}</math> 的[[電荷密度]]，<math>\mathbb{V}</math> 是積分體積。

應用[[高斯定律]]
:<math>\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math> ;

其中，<math>\mathbf{E}</math> 是電場。

電勢能為
: <math>\begin{align} U & = \frac{\epsilon_0}{2}\int _{\mathbb{V}} [\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r})]\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r \\
 & = \frac{\epsilon_0}{2}\int _{\mathbb{V}} \mathbf{\nabla}\cdot[\mathbf{E}(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})]-
\mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

應用[[散度定理]]，可以得到
: <math>U= \frac{\epsilon_0}{2}\oint_{\mathbb{S}} [\mathbf{E}(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})]\cdot\mathrm{d}^2 r-\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{V}} \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r </math> ；

其中，<math>\mathbb{S}</math> 是包住積分體積 <math>\mathbb{V}</math> 的閉曲面。

當積分體積 <math>\mathbb{V}</math> 趨向於無限大時，閉曲面 <math>\mathbb{S}</math> 的面積趨向於以變率 <math>r^2</math> 遞增，而電場、電勢分別趨向於以變率 <math>1/r^2</math> 、<math>1/r</math> 遞減，所以，上述方程式右手邊第一個面積分項目趨向於零，電勢能變為
: <math>U= -\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r}) \mathrm{d}^3 r </math> 。

電場與電勢的微分關係為
:<math>\mathbf{E}=-\nabla\phi</math> 。

將這方程式代入，電勢能變為
: <math>U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} [E(\mathbf{r})]^2\mathrm{d}^3 r </math> 。

所以，電勢能密度 <math>u</math> 為
: <math>u(\mathbf{r})=\frac{\epsilon_0}{2} [E(\mathbf{r})]^2</math> 。

== 自身能與交互作用能 ==
前面分別推導出兩個電勢能方程式：
:<math>U= \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}</math> 。
: <math>U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} [E(\mathbf{r})]^2\mathrm{d}^3 r </math> 。

注意到第一個方程式計算得到的電勢能，可以是正值，也可以是負值；但從第一個方程式推導出來的第二個方程式，其計算得到的電勢能則必定是正值。為甚麼會發生這不一致問題？原因是第一個方程式只囊括了電荷與電荷之間的交互作用能；而第二個方程式在推導過程中，無可避免地將電荷的自身能也包括在內。在推導第一個方程式時，在位置 <math>\mathbf{r}_i</math> 的電勢乃是，除了 <math>q_i</math> 以外，所有其它電荷共同貢獻出的電勢；而在推導第二個方程式時，電勢乃是所有電荷共同貢獻出的電勢。

舉一個雙點電荷案例，假設電荷 <math>q_1</math> 、<math>q_2</math> 的位置分別為 <math>\mathbf{r}_1</math> 、<math>\mathbf{r}_2</math> ，則在任意位置 <math>\mathbf{r}</math> 的電場為<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 40-43|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>
:<math>\mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}+\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}</math> ，

其電勢能密度為
: <math>u=\frac{\epsilon_0}{2} E^2=\frac{\epsilon_0}{2}(E_1\,^2+E_2\,^2+2\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2) </math> 。

很明顯地，這方程式右手邊的前兩個項目分別為電荷 <math>q_1</math> 、<math>q_2</math> 的自身能密度 <math>\epsilon_0 E_1\,^2/2</math> 、<math>\epsilon_0 E_2\,^2/2</math> 。最後一個項目是否為交互作用能密度？為了回答這有意思的問題，繼續計算交互作用能密度的體積積分：
:<math>U_{int}=\int_{\mathbb{V}} u_{int}\ \mathrm{d}^3 r =\epsilon_0\int_{\mathbb{V}}\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2\ \mathrm{d}^3 r=\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}\ \cdot\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}\ \mathrm{d}^3 r</math> 。

應用一條[[向量恆等式]]，
:<math>\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)=-\ \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}</math> ，

可以得到
: <math>\begin{align}U_{int} & =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)\ \cdot\ \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\mathrm{d}^3 r \\
 & =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]
-\ \left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)
\mathrm{d}^3 r \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

應用[[散度定理]]，可以將這方程式右手邊第一個項目，從體積積分變為面積積分：
: <math>\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]\mathrm{d}^3 r =\oint_{\mathbb{S}}\left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]\cdot\mathrm{d}^2 r</math> ；

其中，<math>\mathbb{S}</math> 是包住積分體積 <math>\mathbb{V}</math> 的閉曲面。

假設 <math>\mathbb{V}</math> 趨向於無窮大空間，則這面積積分趨向於零。再應用一則關於[[狄拉克δ函數]]的[[向量恆等式]]
: <math>\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)= - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')</math> ，

可以得到
: <math>U_{int}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}}\frac{\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\ \mathrm{d}^3 r=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}</math> 。

這正是雙點電荷系統的電勢能。

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}
{{電磁學|cTopic=[[靜電學]]}}

{{DEFAULTSORT:J}}
[[Category:能量形式]]
[[Category:靜電學]]
[[Category:電學]]
[[Category:電力]]
[[Category:電壓]]