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在[[複分析]]中，'''留数定理'''（{{lang-en|'''residue theorem'''}}，又叫'''残数定理'''）是用来计算[[解析函数]]沿着闭曲线的[[曲线积分|路径积分]]的一个有力的工具，也可以用来计算[[实函数]]的积分。它是[[柯西积分定理]]和[[柯西积分公式]]的推论。

==定理==
[[File:Residue theorem illustration.png|left|250px|thumb|]]
假设<math>U</math>是[[复平面]]上的一个[[单连通]][[开子集]]，<math>a_1, \cdots, a_n</math>是复平面上有限个点，<math>f</math>是定义在<math>U\setminus{a_1, \cdots, a_n}</math>的[[全纯函数]]。如果<math>\gamma</math>是一条把<math>a_1, \cdots, a_n</math>包围起来的[[可求长曲线]]，但不经过任何一个<math>a_k</math>，并且其起点与终点重合，那么：

:<math>\oint_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) 
\operatorname{Res}( f, a_k ). </math>

如果γ是[[若尔当曲线定理|若尔当曲线]]，那么I(γ, ''a''<sub>''k''</sub>) = 1，因此：
:<math>\oint_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, a_k ). </math>

在这里，Res(''f'', ''a''<sub>''k''</sub>)表示''f''在点''a''<sub>''k''</sub>的[[留数]]，I(γ, ''a''<sub>''k''</sub>)表示γ关于点''a''<sub>''k''</sub>的[[卷绕数]]。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点''a''<sub>''k''</sub>的次数。如果γ依逆时针方向绕着''a''<sub>''k''</sub>移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过''a''<sub>''k''</sub>，卷绕数就是零。 

==例子==
以下的积分

:<math>\int_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx</math>

[[File:ContourDiagram.png|right|300px|thumb|积分路径]]

在计算[[柯西分布]]的[[特征函数 (概率论)|特征函数]]时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从&minus;''a''到''a''，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从''a''到&minus;''a''。取''a''为大于1，使得[[虚数单位]]''i''包围在曲线里面。路径积分为：

:<math>\int_C {f(z)}\,dz =\int_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.</math>

由于''e''<sup>''itz''</sup>是一个[[整函数]]（没有任何[[奇点 (几何)|奇点]]），这个函数仅当分母''z''<sup>2</sup> + 1为零时才具有奇点。由于''z''<sup>2</sup> + 1 = (''z'' + ''i'')(''z'' &minus; ''i'')，因此这个函数在''z'' = ''i''或''z'' = &minus;''i''时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于''f''(''z'')是 

:{|
|-
| <math>\frac{e^{itz}}{z^2+1} \,\!</math> || <math>{}=\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)\,\!</math>
|-
| ||<math>{}=\frac{e^{itz}}{2i}\frac{1}{z-i} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} , \,\!</math>
|}

''f''(''z'')在''z'' = ''i''的[[留数]]是：

:<math>\operatorname{Res}_{z=i}f(z)={e^{-t}\over 2i}.</math>

根据留数定理，我们有：

:<math>\int_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.</math>

路径''C''可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

:<math>\int_{\mbox{straight}}+\int_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,</math>

因此

:<math>\int_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int_{\mbox{arc}}.</math>

如果''t'' > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

:<math>\int_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz \leq  \int_{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^2+1}\right|\,|dz|=\int_{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^2+1|}\,|dz|=\int_{\mbox{arc}}{1 \over |z^2+1|}\,|dz|\leq \int_{\mbox{arc}}{1 \over a^2-1}\,|dz|=\frac{\pi a}{a^2-1}
\rightarrow 0\ \mbox{as}\ a\rightarrow\infty.</math>

上述结果也可以直接由{{le|Jordan%27s_lemma||Jordan引理}}得到<ref>{{cite book|author1=史济怀|author2=刘太顺|title=复变函数|date=1998/12/1|publisher=中国科学技术大学出版社|location=合肥|isbn=9787312009990}}</ref>，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要<math>t>0</math>才能成立，所以如果<math>t<0</math>就必须考虑下半平面上的半圆弧。

因此，如果''t'' > 0，那么：

:<math>\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.</math>

类似地，如果曲线是绕过&minus;''i''而不是''i''，那么可以证明如果''t'' < 0，则

:<math>\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,</math>

因此我们有：

:<math>\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.</math>

（如果''t'' = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）

==参见==
* [[留数]]
* [[曲线积分|路径积分]]
* [[莫雷拉定理]]
* [[傅里叶变换]]
* [[拉普拉斯变换]]

==参考文献==
{{reflist}}
* {{citation|authorlink=Lars Ahlfors|first = Lars|last = Ahlfors|title = Complex Analysis|publisher = McGraw Hill|year = 1979|ISBN = 0-07-085008-9}}
* {{citation|first=Dragoslav|last=Mitronivić|first2=Jovan|last2=Kečkić|title=The Cauchy method of residues: Theory and applications|publisher=D. Reidel Publishing Company|year=1984|ISBN=90-277-1623-4}}
* {{citation|authorlink=Ernst Leonard Lindelöf|first = Ernst|last=Lindelöf|title=Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions|publisher=Editions Jacques Gabay|year=1905|publication-date=1989|ISBN=2-87647-060-8}}

==外部链接==
* [http://mathworld.wolfram.com/ResidueTheorem.html Mathworld]
* [https://web.archive.org/web/20070109061346/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ResidueCalcMod.html John H. Mathews所作的留数定理教程]

[[Category:复分析|L]]
[[Category:数学定理|L]]