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在[[拓撲學]]和[[數學]]的其他相關領域裡，[[拓撲空間]]{{Varserif| X }}的'''子空間'''是指在{{Varserif| X }}中[[子集]]{{Varserif| S }}及在{{Varserif| S }}上賦予的由{{Varserif| X }}的拓撲所誘導的拓撲．這個誘導出來的拓撲叫做{{Varserif| X }}的拓撲在{{Varserif| S }}上的'''相對化拓撲'''，也叫'''子空間拓撲'''、“自然拓撲”．誘導方式參見[[#定義]]．

== 定義 ==

給定一拓撲空間{{Serif| (''X'',τ) }}和一{{Varserif| X }}內的[[子集]]{{Varserif| S }}，於{{Varserif| S }}上的'''子空間拓撲'''被定義爲
:<math>\tau_S = \lbrace S \cap U \mid U \in \tau \rbrace.</math>
亦即，{{Varserif| S }}的子集於子空間拓撲中為開集[[若且唯若]]其爲{{Varserif| S }}和一於{{Serif| (''X'',τ) }}內的[[開集]]的[[交集]]。若{{Varserif| S }}被設上子空間拓撲，則其本身即為一拓撲空間，並被稱之爲{{Serif| (''X'',τ) }}的'''子空間'''。除非有額外敘述，一般拓撲空間的子集都會假定設有一子空間拓撲。

若{{Varserif| S }}爲{{Serif| (''X'',τ) }}內的[[開集]]、[[閉集]]或[[稠密集]]，則分別稱{{Serif| (''S'',τ<Sub>''S''</Sub>) }}爲{{Serif| (''X'',τ) }}內的一'''開子空間'''、'''閉子空間'''或'''稠密子空間'''。

另外，也可以定義{{Varserif| X }}內的子集{{Varserif| S }}的子空間拓撲為會使得[[內含映射]]
:<math>\iota: S \hookrightarrow X</math>
為[[連續函數 (拓撲學)|連續]]的[[拓撲比較|最弱拓撲]]。

更一般地，設{{Varserif| i }}爲一由集合{{Varserif| S }}至拓撲空間{{Varserif| X }}的[[單射]]，則於 ''S'' 上的子空間拓撲即為定義爲{{Varserif| i }}爲連續的最弱拓撲。此拓撲的開集恰好會是{{Serif| ''i''<Sup>-1</Sup>(''U'') }}的其中一個，其中的{{Varserif| U }}爲{{Varserif| X }}內的開集。{{Varserif| S }}因此[[同胚]]於在{{Varserif| X }}內的值域（也是帶子空間拓撲），且{{Varserif| i }}會被稱之為[[拓撲嵌入]]。

== 例子 ==

* 給定一具一般拓撲的[[實數]]，其[[自然數]]（實數的一子空間）的子空間拓撲會是一個[[離散空間|離散拓撲]]。
* [[有理數]] '''Q''' 做為一個 '''R''' 的子空間，不帶有離散拓撲（點 0 在 '''Q''' 內不是開集）。
* 令 ''S'' = [0,1) 為實線 '''R''' 的一子空間，則 [0,&frac12;) 在 ''S'' 內為開集，但在 '''R''' 內則不是。相似地，[&frac12;, 1) 在 ''S'' 內為閉集，但在 '''R''' 內則不是。 ''S'' 為其自身的開子集和閉子集，但做為 '''R''' 的子集則兩者皆不是。

== 參考文獻 ==
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* Bourbaki, Nicolas, ''Elements of Mathematics: General Topology'', Addison-Wesley (1966)
* Steen, Lynn A. and Seeback, J. Arthur Jr., ''[[Counterexamples in Topology]]'', Holt, Rinehart and Winston (1970) ISBN 0-03-079485-4.
* Wilard, Stephen. ''General Topology'', Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6
</div>

== 另見 ==

* [[商空間]] 
* [[積空間]]
* [[直和拓撲]]
* [[诱导拓扑]](induced topology)

[[Category:拓撲學|Z]]
[[Category:點集拓撲學|Z]]