查看“相對論性多普勒效應”的源代码

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{{noteTA
|1=zh-hans:多普勒; zh-hant:都卜勒;
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[[File:Velocity0 70c.jpg|thumb|300px|一个光源向右移动，速度为0.7c。频率在右面较高，在左面较低。]]
'''相對論性多普勒效應'''描述了[[光]]因為波源與觀察者的相對運動關係（一如尋常版的[[多普勒效應]]）而有的[[頻率]]（以及[[波長]]）上的變化，而在這裡又多考慮了[[狹義相對論]]帶來的效應。

相對論性多普勒效應和非相對論性版本的[[多普勒效應]]有許多不同之處，例如其[[方程式]]納入了狹義相對論中的[[時間展長]]效應。這些方程式描述了所觀察到的完全頻率差值，並具有相對論要求的[[勞侖茲協變性|洛侖茲對稱性]]。

== 機制（一個簡單例子） ==
假設觀察者（<strong>O</strong>bserver）與波源（<strong>S</strong>ource）是以一相對速度<math>v\,</math>彼此<strong>遠離</strong>，並從波源的[[參考系]]來考慮這個問題。

當某一[[波前]]抵達觀察者處，則下一個最接近的波前距離觀察者有<math>\lambda=c/f_\mathrm{s}\,</math>（其中<math>\lambda\,</math>是[[波長]]、<math>f_\mathrm{s}\,</math>是波源所發出的原始光波[[頻率]]、<math>c\,</math>是[[光速]]）。由於波前移動速度（即光波移動速度）為<math>c\,</math>而觀察者遠離速度為<math>v\,</math>，觀察者接收一個完整的波（或經歷兩個波前）需歷時：

:<math>t = \frac{\lambda}{c-v} = \frac{1}{(1-v/c)f_\mathrm{s}}</math>

當物體以相對高速移動時，需考慮相對論的[[時間膨脹|-{zh:時間膨脹;zh-hant:時間膨脹;zh-hans:时间展长;}-]]效應，故觀察者測量到的時間會是：
:<math>t_\mathrm{o} = \frac{t}{\gamma} = \frac{1}{\gamma(1-v/c)f_\mathrm{s}}</math><br>

其中<math>\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}</math>，所以觀察者測量到的頻率是：
:<math>f_\mathrm{o} = \frac{1}{t_\mathrm{o}} = \gamma(1-v/c) f_\mathrm{s} = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\,f_\mathrm{s} </math>。

==通式==
===當運動沿著波動傳遞路線===
若觀察者與波源正以速度<math>v\,</math>彼此遠離，則觀察到的[[頻率]]<math>f_\mathrm{o}\,</math>會與波源發出的頻率<math>f_\mathrm{s}\,</math>相異，關係式可寫作：

:<math>f_\mathrm{o} = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\,f_\mathrm{s}</math>

其中<math>c\,</math>是[[光速|真空中光速]]。

相應的[[波長]]關係式則可寫作：

:<math>\lambda_\mathrm{o} = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}\,\lambda_\mathrm{s}</math>

所導致的[[紅移]]<math>z\,</math>可寫作

:<math>z + 1 = \frac{\lambda_\mathrm{o}}{\lambda_\mathrm{s}} = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}</math>

在非相對論極限下，亦即當<math>v \ll c\,</math>，近似式可寫作：

:<math>\frac{\Delta f}{f} \simeq -\frac{v}{c} \qquad \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \simeq \frac{v}{c} \qquad z \simeq \frac{v}{c}</math>

'''註：'''此段落所假設的是觀察者和波源互相「遠離」。若他們是互相「接近」，則<math>v\,</math>需設為負值。

===當運動沿著任意方向===
若從觀察者[[參考系]]來看，波源以速度<math>v\,</math>以及相對於從觀察者到波源方向呈一個角度<math>\theta\,</math>（時間點在光發射出的時候）遠離，則頻率變化為
:<math>f_\mathrm{o} = \frac{f_\mathrm{s}}{\gamma\left(1+\frac{v\cos\theta}{c}\right)}</math>

其中<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>

然而，若角度<math>\theta\,</math>是在波源[[參考系]]量測到的（時間點在觀察者收到光的時候），則表示式為
:<math>f_\mathrm{s} = \gamma\left(1-\frac{v\cos\theta}{c}\right)f_\mathrm{o}</math>

在非相對論極限下：
:<math>\frac{\Delta f}{f} \simeq -\frac{v\cos\theta}{c}</math>。

== 相關條目 ==

* [[多普勒效應]]
* [[紅移]]
* [[藍移]]
* [[狹義相對論]]
* [[橫向多普勒效應]]

== 外部連結 ==
*[http://www.adamauton.com/warp/ Warp Special Relativity Simulator]電腦程式，展示相對論性多普勒效應。

{{Relativity}}

[[Category:狭义相对论]]
[[Category:多普勒效應]]
[[Category:物理现象]]