查看“真值表”的源代码

{{NoteTA
|G1=Electronics
}}
'''真值表'''是使用於[[邏輯]]中（特別是在連結[[邏輯代數]]、[[布林函數]]和[[命題邏輯]]上）的一類[[數學用表]]，用來計算邏輯[[表示式]]在每種論證（即每種邏輯變數取值的組合）上的值。尤其是，'''真值表'''可以用來判斷一個命題表示式是否對所有允許的輸入值皆為真，亦即是否為[[有效性|邏輯有效]]的。

「用真值表製表的推理模式是由[[弗雷格]]、[[查尔斯·皮尔士]]和[[恩斯特·施羅德]]於1880年代所发明的。這種表格於1920年代之後廣泛地發現在許多文獻上（[[扬·武卡谢维奇]]、[[埃米爾·波斯特]]、[[维特根斯坦]]）”（[[威拉德·馮·奧曼·蒯因|蒯因]], 39）。[[路易斯·卡罗]]早在1894年就公式化了真值表来解决特定问题，但是包含他这项工作的手稿直到1977年才被发现[http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Biographies/Dodgson.html] 。维特根斯坦的《[[逻辑哲学论]]》利用真值表把[[真值函数]]置于序列中。这个著作的广泛影响导致了真值表的传播。

真值表被用來計算以「[[決策程序]]」建構的命題表示式的值。命題表示式可以是一個[[原子公式]]（命題常數、[[命題變數]]或命題函數，如''Px''或''P''(''x'')），或以邏輯算子（如[[邏輯與]]（<math>\land</math>）、[[邏輯或]]（<math>\lor</math>）、[[邏輯非]]（<math>\lnot</math>））由原子公式建構出來的公式。舉例來說，<math>Fx \land Gx</math>即是個命題表示式。

真值表中的列标题展示了 （i）命题函数与/或变量，和 （ii）建造自这些命题函数或变量和运算符的真值泛函表达式。行展示对 （i）和 （ii）的'''T'''或'''F'''指派的每个可能的求值。换句话说，每行都是对 （i）和 （ii）的不同解释。

经典（就是说二值）逻辑的真值表限定于只有两个[[真值]]是可能的[[布尔逻辑]]系统，它们是“真”或“假”，通常在表中简单的表示为'''T'''和'''F'''。

== 否定 ==
在布尔逻辑系统中，所有运算符都能以这种方式明确的定义。例如NOT（¬）关系定义如下：

:{| class="wikitable" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center;"
|- style="background:paleturquoise"
| <math>A</math> || ¬<math>A</math>
|- align=center
| F || T
|- align=center
| T || F
|}

== 逻辑合取 ==
例如，采用两个命题变量，<math>A</math>和<math>B</math>和逻辑运算符"AND"（∧），表示合取"A与B"或<math>A</math> ∧ <math>B</math>。在普通英语中，如果A和B都是真的，那么合取"<math>A</math> ∧ <math>B</math>"是真的；在所有的对<math>A</math> ∧ <math>B</math>的真值的可能指派，合取都是假的。这种联系定义如下：

:{| class="wikitable" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center;"
|- style="background:paleturquoise"
| <math>A</math> || <math>B</math> || <math>A</math>∧<math>B</math>
|- align=center
| F || F || F
|- align=center
| F || T || F
|- align=center
| T || F || F
|- align=center
| T || T || T
|}

== 逻辑析取 ==
OR (∨)关系定义如下：

:{| class="wikitable" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center;"
|- style="background:paleturquoise"
| <math>A</math> || <math>B</math> || <math>A</math>∨<math>B</math>
|- align=center
| F || F || F
|- align=center
| F || T || T
|- align=center
| T || F || T
|- align=center
| T || T || T
|}

== 逻辑与非 ==
可以构造复合的表达式，使用圆括号来指示优先级。

合取的否定¬（<math>A</math> ∧ <math>B</math>）≡ <math>A</math> <font style="text-decoration:overline">∧</font> <math>B</math>，和否定的析取¬ <math>A</math> ∨ ¬ <math>B</math>描述如下：

:{| class="wikitable" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center;"
|- style="background:paleturquoise"
| <math>A</math> || <math>B</math> || <math>A</math>∧<math>B</math> || <math>A</math><font style="text-decoration:overline">∧</font><math>B</math> || ¬<math>A</math> || ¬<math>B</math> || ¬<math>A</math>∨¬<math>B</math>
|- align=center
| F || F || F || T || T || T || T
|- align=center
| F || T || F || T || T || F || T
|- align=center
| T || F || F || T || F || T || T
|- align=center
| T || T || T || F || F || F || F
|}

== 逻辑或非 ==
真值表可以用来证明[[逻辑等价]]。

析取的否定¬（<math>A</math> ∨ <math>B</math>）≡ <math>A</math> <font style="text-decoration:overline">∨</font> <math>B</math>，和否定的合取¬ <math>A</math> ∧ ¬ <math>B</math>描述如下：

:{| class="wikitable" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center;"
|- style="background:paleturquoise"
| <math>A</math> || <math>B</math> || <math>A</math>∨<math> B</math> || <math>A</math><font style="text-decoration:overline">∨</font><math>B</math> || ¬<math>A</math> || ¬<math>B</math> || ¬<math>A</math>∧¬<math>B</math>
|- align=center
| F || F || F || T || T || T || T
|- align=center
| F || T || T || F || T || F || F
|- align=center
| T || F || T || F || F || T || F
|- align=center
| T || T || T || F || F || F || F
|}

比较上面两个真值表，因为对<math>A</math> <font style="text-decoration:overline">∧</font> <math>B</math>和¬ <math>A</math> ∨ ¬ <math>B</math>二者，与<math>A</math> <font style="text-decoration:overline">∨</font> <math>B</math>和¬ <math>A</math> ∧ ¬ <math>B</math>二者，枚举<math>A</math>和<math>B</math>的所有可能真值生成相同真值，它们分别是逻辑等价的，并可相互代换。这种等价是[[德·摩根定律]]中的。

== 逻辑异或 ==
A <u>∧</u> B (还写为<math>A \oplus B</math>或<math>A \neq B</math>)描述如下：

:{| class="wikitable" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center;"
|- style="background:paleturquoise"
| <math>A</math>
| <math>B</math>
| <math>A</math><u>∧</u><math>B</math>
|-
| T || T || F
|-
| T || F || T
|-
| F || T || T
|-
| F || F || F
|}

== 最常用逻辑运算符的真值表 ==
下面的真值表给出2个二值变量（P,Q是布尔变量）的16个可能的[[真值函数]]中最常用的7个的定义：

:{| class="wikitable" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center;"
|- style="background:paleturquoise"
| <math>P</math> || <math>Q</math> || <math>P</math>∧<math>Q</math> || <math>P</math>∨<math>Q</math> || <math>P</math><u>∧</u><math>Q</math> || <math>P</math><u>∨</u><math>Q</math> || <math>P</math>→<math>Q</math> || <math>P</math>←<math>Q</math> || <math>P</math>↔<math>Q</math>
|- align=center
| F || F || F || F || F || T || T || T || T
|- align=center
| F || T || F || T || T || F || T || F || F
|- align=center
| T || F || F || T || T || F || F || T || F
|- align=center
| T || T || T || T || F || T || T || T || T
|}

注解：
:T = 真，F = 假
:∧ = AND（逻辑合取）
:∨ = OR（逻辑析取）
:<u>∨</u> = XOR（异或）
:≡ = XNOR（异或非）
:→ = [[逻辑条件|“如果-那么”条件]]
:← = [[逻辑条件|“當”条件]]
:↔ = [[当且仅当|双条件或“当且仅当”]]

[[Johnston图]]，类似于[[文氏图]]和[[欧拉图]]，提供了可视化真值表的方式。[http://logictutorial.com LogicTutorial.com]有展示真值表的交互的[[Johnston图]]。

== 二元运算符的紧缩真值表 ==
对于二元运算符，还使用一种紧缩形式的真值表，这裡的行标题和列标题指定操作元（operand）而表单元指定结果。例如[[布尔逻辑]]是这种真值表表示法：
{|
|-
| width="80" |
|
{{乘法表
| table class = class="wikitable" style="text-align:center;"
| first number list = F,T
| calculate title = {{unicode|∧}}
| expr = {{{left}}} ∧ {{{right}}}
| number css = css
| number class = boolean
}}
| width="80" |
|
{{乘法表
| table class = class="wikitable" style="text-align:center;"
| first number list = F,T
| expr = {{{left}}} + {{{right}}}
| calculate title = {{unicode|∨}}
| expr = {{{left}}} ∨ {{{right}}}
| number css = css
| number class = boolean
}}
|}

这种表示法在运算符是交换性的时候特别有用，尽管你可以补充的指定行是第一个操作元而列是第二个操作元。这种紧缩的表示法在讨论逻辑的多值扩展时特别有用，因为组合數的爆炸性增加，它能有效的缩减所需要的行数。它还提供了在表中值的分布的快速可辩识的特征性"形状"，可以帮助读者更加快速的把握规律。

== 引用 ==
* [[威拉德·冯·奥曼·蒯因|Quine, W.V.]](1982), ''Methods of Logic'', 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.

{{reflist}}

== 外部链接 ==
* [http://www-cs-students.stanford.edu/~silver/truth/ Web-based truth table generator]
* [http://www.stephan-brumme.com/programming/Joole/ Boolean expression evaluator, generates truth table (Java applet)]

== 参见 ==
* [[真值]]
* [[逻辑运算符|连结词]]
* [[真值函数]]
* [[零阶逻辑]]
* [[命题逻辑]]
* [[布尔代数主题列表]]
{{数字电路}}

[[Category:布尔代数|Z]]
[[Category:數理邏輯|Z]]
[[Category:数学用表]]