查看“矩問題”的源代码

{{Refimprove|time=2018-11-29T16:54:39+00:00}}
{{No footnotes|time=2018-11-29T16:54:39+00:00}}
[[数学]]上，'''矩问题'''詢問是否可以由一個[[测度]] μ 的[[矩 (數學)|矩]]序列

:<math>m_n = \int_{-\infty}^\infty x^n \,d\mu(x)\,</math>

確定該測度。更一般地，亦可考虑序列

:<math>m_n = \int_{-\infty}^\infty M_n(x) \,d\mu(x)\,.</math>

其中 ''M''<sub>''n ''</sub>為任意一列函數。

== 簡介 ==
最典型的例子中，&#x3BC; 取為[[實數線]]上的測度，並取 ''M'' 為序列 {''x''<sup>''n''</sup><span> </span>: ''n'' = 0, 1, 2, ... }. 此種矩问题源自[[概率论]]，其意義為：是否存在一個[[概率測度]]，其[[平均数]]、[[方差]]等組成的序列等於給定的序列，又及該測度是否唯一。

矩問題當中，有三種以人名命名，分別為：允許 μ 的[[支撑集]]為全條實軸的{{Link-en| Hamburger 矩問題|Hamburger moment problem}}、支撑集為 [0,+∞) 的{{Link-en|斯蒂爾吉斯矩問題|Stieltjes moment problem}}，以及支撑集為有界閉區間（不失一般性可設為 [0, 1]) 的{{Link-en|豪斯多夫矩問題|Hausdorff moment problem}}。

== 存在性 ==
一個序列 ''m''<sub>''n''</sub> 為某個測度 ''&#x3BC;'' 的矩，當且僅當其[[汉克尔矩阵]] ''H''<sub>''n''</sub>,

:<math>(H_n)_{ij} = m_{i+j}\,,</math>

為[[正定矩阵|半正定]]。 這是因為一個半正定的汉克尔矩陣對應一个线性泛函 <math> \Lambda</math>，其滿足 <math>\Lambda(x^n) = m_n</math> 和 <math> \Lambda(f^2) \geq 0 </math>（即：當作用於多项式的平方和時，其結果非負）。假设 <math> \Lambda</math> 可以扩展成 <math> \mathbb{R}[x]^*</math> 的元素。在单变量的情况下，非負的多项式必為若干個多項式的平方和，故线性泛函 <math> \Lambda</math>於非負多项式處均取非負值。由 {{harvtxt|Haviland|1936}}，該线性泛函有測度形式，亦即 <math> \Lambda(x^n) = \int_{-\infty}^{\infty} x^n d \mu</math>. 在有界區間 [''a'', ''b''] 上，測度 <math>\mu</math> 的存在性也有類似形式的充要條件。

可用以下方法證明上述結論。設线性泛函 <math>\scriptstyle\varphi</math> 將多项式

: <math>P(x) = \sum_k a_k x^k </math>

映到

: <math>\sum_k a_k m_k.</math>

若 ''m''<sub>''kn''</sub> 為以 [''a'',&#x20;''b''] 為支撑的測度 μ 的矩，則

:{{NumBlk|:|''&phi;''(''P'')&nbsp;&ge;&nbsp;0 對任意在 [''a'',&nbsp;''b''] 上非負的多項式 ''P'' 都成立。|{{EquationRef|1}}}}

反之，如果 ({{EquationNote|1}}) 為真，則可運用{{Link-en|M. 里斯擴展定理|M. Riesz extension theorem}}將 <math>\phi</math> 擴展成 ''C''<sub>0</sub>([''a'',&#x20;''b'']) 上的線性泛函，其滿足

:{{NumBlk|:|<math>\qquad \varphi(f) \ge 0 \quad \forall f \in C_0([a,b]),\;f\ge 0</math>.|{{EquationRef|2}}}}

由[[里斯表示定理]]，({{EquationNote|2}}) 成立當且僅當存在以 [''a'', ''b''] 為支撐的測度 ''&#x3BC;'' ，使得

: <math> \varphi(f) = \int f \, d\mu</math>

对任意的 ''&#x66;''&#x20;&#x2208;&#x20;''C''<sub>0</sub>([''a'',&#x20;''b'']) 成立。

由此可見， <math>\mu</math> 的存在性等價於 ({{EquationNote|1}}). 再利用 [''a'',&#x20;''b''] 上的非負多項式的表示定理，即可將 ({{EquationNote|1}}) 寫成一個關於[[汉克尔矩阵]]的條件。

詳見 {{harvnb|Shohat|Tamarkin|1943}} 和 {{harvnb|Krein|Nudelman|1977}} 。

== 唯一性 ==
豪斯多夫矩問題中，可由[[魏尔斯特拉斯逼近定理]]得到 μ 的唯一性。該定理斷言：[0, 1] 上的連續函數集中，在一致範數的意義下，[[多項式|多項式集]]是[[稠密]]的。至於在無窮區間上的矩問題，唯一性是一個更深入的問題。參見 {{Link-en|Carleman 條件|Carleman's condition}}(1922)、{{Link-en|Krein 條件|Krein's condition}} (1940s) 和 {{harvtxt|Akhiezer|1965}}.

== 变式 ==
矩問題的一個重要變式是截尾矩問題，其研究具有給定前 ''k'' （不為無窮大）階矩的測度的性質。截尾矩問題的研究成果，可以應用在极值问题、优化理論，以及[[概率论]]的極限定理上。 参见： {{Link-en|切比雪夫–马可夫–斯蒂爾吉斯不等式|Chebyshev–Markov–Stieltjes inequalities}} 和 {{harvnb|Krein|Nudelman|1977}}.

== 參見 ==

* [[斯蒂爾吉斯矩問題]]
* [[Hamburger 矩問題]]
* [[豪斯多夫矩問題]]
* [[矩 (數學)]]
* [[Carleman 條件]]
* [[汉克尔矩阵]]

== 参考文献 ==
* {{cite journal |last= Haviland|first= E. K.|date= Jan. 1936|year=1936|title= On the Momentum Problem for Distribution Functions in More Than One Dimension. I|url= https://www.jstor.org/stable/2371063|journal= American Journal of Mathematics|volume= 58|issue= 1|pages= 164–168|doi= 10.2307/2371063 |access-date= 29 Nov 2018|ref=harv}}
* {{Cite book|title=The Problem of Moments|last=Shohat|first=James Alexander|last2=Tamarkin|first2=Jacob D.|authorlink2=Jacob Tamarkin|publisher=American mathematical society|year=1943|location=New York|ref=harv}}
* {{Cite book|title=The classical moment problem and some related questions in analysis|last=Akhiezer|first=Naum I.|authorlink=Naum Akhiezer|publisher=Hafner Publishing Co.|year=1965|location=New York|ref=harv}} (由 N. Kemmer 譯自俄文)
* {{Cite book|title=The Markov moment problem and extremal problems.  Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development|last=Krein|first=M. G.|last2=Nudelman|first2=A. A.|publisher=American Mathematical Society, Providence, R.I.|year=1977|volume=Translations of Mathematical Monographs, Vol. 50|ref=harv}} (由 D. Louvish 譯自俄文)
* {{Cite book|title=The moment problem|last=Schmüdgen|first=Konrad|publisher=Springer International Publishing|year=2017|ref=harv}}


[[Category:数学分析|J]]
[[Category:数学问题|J]]
[[Category:测度论|J]]
[[Category:实分析|J]]