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{{no footnotes|time=2019-03-08T22:41:13+00:00}}
[[数学]]上讲，'''矩阵函数'''是把[[矩阵]]映射到另一个矩阵的[[函数]]。

== 将标量函数拓展为矩阵函数 ==

===指数级数 ===
如果实值函数 {{mvar|f}}具有[[泰勒展开]]
:<math>f(x) = f(0) + f'(0)\cdot x + f''(0)\cdot \frac{x^2}{2!} + \cdots</math>

那么矩阵函数可以通过用矩阵替换[[自变量]]<math>x</math>得到：指数运算变成[[矩阵指数]]，加法变成矩阵和，与标量系数的乘法变成矩阵和标量的乘法。如果实级数在<math>|x| < r</math>时收敛，那么其对应的关于<math>A</math>的矩阵级数也将收敛，如果在某个满足<math>\|AB\|\leq \|A\|\cdot\|B\|</math>的[[矩阵范数]]<math>\|\cdot\|</math>上满足<math>\|A\| < r</math>。
[[Category:函数]]

===可对角化矩阵===

如果矩阵<math>A</math>是[[可对角化矩阵]]，则结果可以简化为一个由各个特征值的函数值构成的矩阵。换句话说，假设我们可以找到矩阵<math>P</math>和对角阵<math>D</math>，使得<math>A = P\cdot D\cdot P^{-1}</math>，那么
把指数级数的定义用到这个分解上，我们可以得到
:<math>f(A) = P \begin{bmatrix}
f(d_1) & \dots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & f(d_n)
\end{bmatrix} P^{-1}  ~, </math>
其中<math>d_1, \dots, d_n</math>表示<math>D</math>的对角元素。

==相關條目==
*{{link-en|西爾維斯特公式|Sylvester's formula}}
*[[矩阵微积分]]
*[[迹不等式]]
*{{link-en|矩陣三角函數|Trigonometric functions of matrices}}

==參考資料==
* {{cite book|last1=Higham|first1=Nicholas J.|title=Functions of matrices theory and computation|date=2008|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|location=Philadelphia|isbn=9780898717778}}
{{数学分析小条目}}
[[Category:矩陣論]]
[[Category:数学物理]]