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{{distinguish|多项式矩阵}}
'''矩阵多项式'''是[[数学]]中[[矩阵论]]里的概念，指由[[方块矩阵]]作为不定元的[[多项式]]，或由方块矩阵作为[[变量]]的[[多项式函数]]。

==定义==
给定[[自然数]]{{math|''n''}}、系数[[环]]<math>\mathbf{R}</math>以及{{math|''n''}}阶方块矩阵{{math|''A''}}，一个关于矩阵{{math|''A''}}的{{math|''d''}}次的矩阵多项式通常写作：
:<math>P(A) = \alpha_0 \mathbf{I}_n + \alpha_1 A +\alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_d A^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i A^i </math>
其中的<math>\alpha_0, \alpha_1 , \cdots, \alpha_d</math>都是系数环<math>\mathbf{R}</math>中的元素。这其实是可以看作将<math>\mathbf{R}[\lambda]</math>中的多项式：
:<math>P(\lambda) = \alpha_0 + \alpha_1 \lambda +\alpha_2 \lambda^2 + \cdots + \alpha_d \lambda^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i \lambda^i </math>
中的不定元<math>\lambda</math>换成了一个{{math|''n''}}阶方块矩阵{{math|''A''}}后得到的结果。{{math|P(''A'')}}和{{math|''A''}}一样，也是一个{{math|''n''}}阶方块矩阵。

==性质==
给定一个{{mvar|n}}阶方块矩阵{{mvar|A}}，如果一个非零多项式<math>f \in \mathbf{R}[\lambda]</math>满足：<math>f(A) = 0</math>，则称多项式{{mvar|f}}是矩阵{{mvar|A}}的'''零化多项式'''。根据[[凱萊－哈密頓定理|开莱－哈密尔顿定理]]，[[特征多项式]]<math>\Pi_A(\lambda)</math>满足<math>\Pi_A(A) = 0</math>，所以<math>\Pi_A</math>是一个零化多项式。所有零化多项式中次数最低的称为{{mvar|A}}的'''最小多项式'''，记作<math>\pi_A</math>。所有关于{{mvar|A}}的矩阵多项式{{mvar|Q}}都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于<math>\pi_A</math>的多项式。事实上，存在多项式<math>Q, \; R \; \in \mathbf{R}[\lambda]</math>，使得：
:<math>P = Q\pi_A + R</math>
并且其中{{mvar|R}}的次数严格小于<math>\pi_A</math>的次数。所以：
:<math>P(A) = Q(A) \pi_A(A) + R(A) = Q(A) \cdot 0 + R(A) = R(A). </math>

==参见==

==参考来源==
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[[category:矩阵论]]
[[category:多项式]]