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范畴论中，'''积'''（或'''[[直积]]'''）的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。

==定义==

给定范畴''C''。''C''中一对象集{''X<sub>i</sub>'' | ''i'' &isin; ''I''}的积为满足下面[[泛性质]]的偶(''X'', (''&pi;<sub>i</sub>''))，其中''X''为一对象，''&pi;<sub>i</sub>'' : ''X'' &rarr; ''X<sub>i</sub>''（''i'' &isin; ''I''）为一组态射：对任意对象''Y''及其到''X<sub>i</sub>''的一组态射''f<sub>i</sub>''，存在唯一的态射''f'' : ''Y'' &rarr; ''X''满足，对任意''i'' &isin; ''I''，''f<sub>i</sub>'' = ''&pi;<sub>i</sub>''&nbsp;''f''。即，对任意''i''，下图[[可交换图|可交换]]。

[[File:CategoricalProduct-01.png|center|Universal product of the product]]

若该组对象仅有两个，积通常用''X''<sub>1</sub>&times;''X''<sub>2</sub>来表示。上图变为：

[[File:CategoricalProduct-03.png|center|Universal product of the product]]

此时，此唯一态射''f''也常表示为&lt;''f''<sub>1</sub>,''f''<sub>2</sub>&gt;。

==讨论==

积为范畴论中的一种[[极限 (范畴论)|极限]]。积也即''C''中[[离散范畴|离散子范畴]]的极限。积不一定存在。但若存在，则由其定义易知其在同构的意義下唯一。

[[空积]]（''I''为空时所得的积）即[[终对象]]。

若''C''中对任意基于''I''的对象集均存在积，则该积也可以看做一个从''C''<sup>''I''</sup>到''C''的[[函子]]。

集合{''X''<sub>''i''</sub>}的积通常记为&prod;<sub>''i''</sub> ''X''<sub>''i''</sub>。态射&pi;<sub>''i''</sub>也称为'''自然投影'''。如下[[自然同构]]成立：
:<math>\operatorname{Hom}_C\left(Y,\prod_{i\in I}X_i\right) \simeq \prod_{i\in I}\operatorname{Hom}_C(Y,X_i)</math>
（Hom<sub>''C''</sub>(''U'',''V'')表示''C''中从''U''到''V''的态射集；左侧的积为范畴意义上的积、右侧的为集合的[[笛卡儿积]]）。

若''I''为有限集，例如''I'' = {1,...,''n''}，则''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''的积通常记为''X''<sub>1</sub>&times;...&times;''X<sub>n</sub>''。

设''C''存在有限积，采用上述积函子的定义，并用1表示''C''的[[终对象]]（[[空积]]），则下列[[自然同构]]成立：
:<math>X\times (Y \times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z</math>
:<math>X\times 1 \simeq 1\times X \simeq X</math>
:<math>X\times Y \simeq Y\times X</math>
上述为构成一个[[交换幺半群]]的条件。

==举例==

* '''Set'''的积为集合的笛卡儿积。
* 由偏序构成的范畴：一组元素的积为该组元素的[[最大下界]]。

==参见==
* [[泛性质]]
* [[上积]] – 积的[[对偶概念]]
* [[极限 (范畴论)|极限与上极限]]
* [[Equalizer]]
* [[反极限]]
* [[笛卡儿闭范畴]]


{{範疇論}}
[[Category:范畴中的极限|J]]