查看“空积”的源代码

在[[数学]]领域，'''空积'''（{{lang-en|empty product}}）也叫'''零项积'''（{{lang-en|nullary product}}），是零个因子相[[乘法|乘]]的结果。一般假设任何乘法运算中都隐含[[单位元]]因子，所以认为空积的值与乘法单位元 [[1]] 相等。这和[[空和]]（零个数相[[加法|加]]的结果）等于加法[[单位元]] [[0]] 是类似的。<ref>{{cite book |author=Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek |title=Invitation to Discrete Mathematics |publisher=Oxford University Press |year=1998 |isbn=0-19-850207-9 |pages=12}}</ref><ref>{{cite book |author=A.E. Ingham and R C Vaughan |title=The Distribution of Prime Numbers |publisher=Cambridge University Press |year=1990 |isbn=0-521-39789-8 |pages=1}}</ref><ref>{{Lang Algebra|edition=3r|page=9}}</ref><ref>{{cite book |author=David M. Bloom |title=Linear Algebra and Geometry |year=1979 |isbn=0521293243 |pages=45}}</ref>

== 零项算术积 ==

假设有数列 ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>,... 并且该数列的前 ''m'' 项的积为

:<math>P_m = \prod_{i=1}^m a_i = a_1 \cdots  a_m </math>

如果约定 <math>P_1 = a_1</math> 并且 <math>P_0=1</math>，那么所有 ''m'' = 1,2,... 都满足：

:<math>P_m = a_m \cdot P_{m-1}</math>

换句话说，<math>P_1</math> 是一个因子的「积」，取值就是它本身；而 <math>P_0</math> 则是零个因子的「积」，取值是 1。允许求一个因子、零个因子的积，可以简化很多数学公式，减少针对类似的特殊情况的处理。这样的「积」是很多[[数学归纳法|归纳证明]]以及算法的自然起点。因此，「空积是一」的约定在数学和程序设计中非常常见。

== 另见 ==

* {{Tsl|en|Iterated binary operation|迭代二项运算}}
* [[空和]]

== 参考资料 ==
<references />

[[Category:乘法]]
[[Category:一]]