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{{Expand|time=2013-02-14T05:19:06+00:00 }} 第<math>n</math>個'''立方數'''指可以寫成<math>n^3</math>的數,當中<math>n</math>必為[[整數]]。立方數是邊長<math>n</math>的[[立方體]]的[[體積]]。作為[[算術]]用語的「'''立方'''」,表示任何數<math>n</math>的三次[[冪]],可用³([[Unicode]]字元179)來表示。 和[[平方數]]不同,立方數可存在[[負數]]。 若將立方数概念扩展到[[有理数]],则两个立方数的比仍然是立方数,例如, (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。 若一个整数没有除了 1 之外的立方数為其[[因數]],则称其为[[無立方數因數的數]]。 首十二個立方數{{oeis|A000578}}為:[[1]], [[8]], [[27]], [[64]], [[125]], [[216]], 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 ...(第零個是[[0]]) 雖然形狀不同,每個立方數第<math>n</math>個立方數同時都是第<math>n</math>個'''六角錐數''',即首<math>n</math>個[[中心六邊形數]]之和。 ==立方數和== 首<math>n</math>個正立方數之和為<math>\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2</math>,即第<math>n</math>個[[三角形數]]的[[平方]] 每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。([[華林問題]]) 1939年,狄克森證明只有[[23]]和[[239]]需要用9個正立方數的和來表示。 [[亞瑟·韋伊費列治]]證明只有15個整數須用8個:[[15]], [[22]], [[50]], [[114]], [[167]], [[175]], [[186]], [[212]], [[231]], [[238]], [[303]], [[364]], [[420]], [[428]], [[454]] ({{oeis|A018889}}) [[的士數]]和[[士的數]]都指最小能表示成兩個立方數之和的數,但的士數的必須為正數,士的數則無此限。(見[[1729]]) 只有一組連續三個立方數之和亦是立方數,就是[[3]], [[4]], [[5]]的立方,其和等於6的立方。 在[[十进制]],除了1之外,僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身,它們為[[153]], [[370]], [[371]], [[407]],他們是<math>n=3</math>的[[自戀數]]。這4個三位數,亦可視為將它的數字分成三份,每份的立方之和,相似性質的整數有無限個,如165033, 221859, 336700等({{oeis|A056733}})。 ==性質== *除了0以外,立方數不可能是[[普洛尼克數]]。{{noteTag|1=因為n與(n+1)差1,所以兩數互質,故若n×(n+1)為立方數,則n與(n+1)也皆為立方數,2個立方數差1,則必為0與1,因此唯一的普洛尼克數兼立方數為0=0×1。}} *除了0以外,立方數也不可能是連續若干個(至少兩個)數的積。{{noteTag|1=連續若干個(剛好兩個)數的積是[[普洛尼克數]]。}} *除了0,1,8以外,立方數不可能是[[費波那契數]]。 *除了1以外,立方數也不可能是[[盧卡斯數]]。 *除了0,1以外,立方數不可能是[[佩爾數]]。 *除了0,1以外,立方數不可能是[[三角形數]]、[[五角數]]等[[多邊形數]]。 *除了1以外,立方數不可能是[[中心正方形數]]、[[中心五邊形數]]等[[中心多邊形數]]。 *除了1,8以外,立方數也不可能是[[烏拉姆數列]]出現的數。 *除了1,[[226981]]([[61]]的立方)以外,立方數不可能是[[星數]]。 *除了1以外,立方數在[[楊輝三角形]]只出現二次。 *除了0000以外,立方數末4位數不可能相同。 *立方數不可能是[[楔形數]]、[[半質數]]。 *除了[[27]]以外,立方數不可能是[[史密夫數]]。 *0以外的立方數每一位數數字相加之和,不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 8, 9。 *是否在相继立方數之间存在一个素数这一命题,对[[1000000000000]]以内的数目是正确的。 *立方數是模任何整數的[[三次剩餘]];另外,如果某個整數是模任何整數的[[三次剩餘]],那麼它一定是立方數。 *立方數的正[[因數]]個數一定是3的倍數加1。 == 涉及立方数和的问题 == === <math>x^3 + y^3 + z^3 = k</math>的整数解 === {{main|三立方数和}} # 方程<math>x^3 + y^3 + z^3 = 3</math>除了有4组解<math>(1, 1, 1), (4, 4, -5), (4, -5, 4), (-5, 4, 4)</math>以外,是否还有其它整数解? # 方程<math>x^3 + y^3 + z^3 = 33</math>有整数解<math>(8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)</math>{{r|arb}} # 方程<math>x^3 + y^3 + z^3 = 42</math>有整数解<math>(-80538738812075974, 80435758145817515, 12602123297335631)</math><ref>{{cite web |author1=Prof. Booker |title=Life, the Universe, and Everything |url=https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/ |accessdate=2019-09-07}}</ref> # 方程<math>x^3 + y^3 + z^3 = 114</math>是否有整数解? ==其他== * [[立方質數]]的定義為<math>\frac{x^3-y^3}{x-y}</math>,其中<math>x=y+1</math>或<math>x=y+2</math>。 == 参见 == *[[平方数]] *[[四次方數]] *[[五次方數]] ==註釋== {{NoteFoot}} ==外部链接== * http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html == 参考文献 == {{reflist|refs= <ref name=arb>{{citation|url=https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf|first=Andrew R.|last=Booker|title=Cracking the problem with 33|publisher=University of Bristol|date=2019}}</ref>}} {{有形數}} [[Category:算术]] [[Category:多邊形數及多面體數|3]] [[Category:整数数列|L]]
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