查看“笛卡儿积”的源代码

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{{dablink|“笛卡儿平方”重定向至此，关于范畴论中的笛卡儿平方，参见[[拉回 (范畴论)]]}}

在[[数学]]中，两个[[集合]]<math>X</math>和<math>Y</math>的'''笛卡儿积'''（{{lang-en|'''Cartesian product'''}}），又称'''[[直积]]'''，在集合论中表示为<math>\,X \times Y</math>，是所有可能的[[有序对]]組成的集合，其中有序對的第一个对象是<math>\,X\,</math>的成员，第二个对象是<math>\,Y\,</math>的成员。

:<math>X \times Y = \left\{ \left( x,y \right) \mid x \in X \land y \in Y \right\}</math>。

舉個實例，如果集合<math>\,X\,</math>是13个元素的点数集合<math>\left \{ A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2 \right \}</math>，而集合<math>\,Y\,</math>是4个元素的花色集合<math>\{</math>♠, ♥, ♦, ♣<math>\}</math>，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合<math>\{(A,</math>♠<math>),(K,</math>♠<math>), ...,(2,</math>♠<math>),(A,</math>♥<math>),...,(3,</math>♣<math>),(2,</math>♣<math>)\}</math>。

笛卡儿积得名于[[笛卡儿]]，因為這概念是由他建立的[[解析几何]]引申出來。

== 笛卡儿积的性质 ==
易见笛卡儿积满足下列性质：
* 对于任意集合<math>A</math>，根据定义有<math>A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing</math>
* 一般来说笛卡儿积不满足[[交换律]]和[[结合律]]。
* 笛卡儿积对集合的[[并集|并]]和[[交集|交]]满足[[分配律]]，即
:<math>A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)</math><br />
:<math>(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)</math><br />
:<math>A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)</math><br />
:<math>(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)</math>
:<math>(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)</math>

== 笛卡儿平方和n元乘积 ==
集合<math>X</math>的'''笛卡儿平方'''（或'''二元笛卡儿积'''）是笛卡儿积<math>X\times X</math>。一个例子是二维平面<math>R\times R</math>，（这里<math>R</math>是[[实数|实数集]]） - 它包含所有的点<math>(x,y)</math>，这里的<math>x</math>和<math>y</math>是实数（参见[[笛卡儿坐标系]]）。

为了幫助枚舉，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在<math>n</math>个集合<math>X_1, ..., X_n</math>上的'''''n''-元笛卡儿积''':

:<math>X_1\times\ldots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}</math>。

实际上，它可以被等同为<math>\left ( X_1\times ...\times X_{n-1} \right )\times X_n</math>。它是[[多元组|''n''-元组]]的集合。

一个例子是[[欧几里得空间|欧几里得]]三维空间<math>R\times R\times R</math>，这里的'''<math>R</math>'''同樣是指实数集。

== 无穷乘积 ==
对最常用的数学应用而言，上述定义通常已經足夠。但是，也可以在任意（可能[[无限]]）的集合的[[类 (数学)|搜集]]上定义笛卡儿积。如果<math>I</math>是任何指标集合，而
:<math>\{X_i\ | i \in I\}</math>

是由''<math>I</math>''索引的集合的[[类 (数学)|搜集]]，则我们定义

:<math>\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}</math>，

就是定义在[[索引集合]]上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引<math>i</math>上的值是<math>X_i</math>的元素。

对在<math>I</math>中每个<math>j</math>，定义自
:<math>  \pi_{j}(f) = f(j) \ </math>
的函数
:<math>  \pi_{j} : \prod_{i \in I} X_i \to X_{j} \ </math>
叫做'''第'''<math>j</math>'''[[射影|投影映射]]'''。

''n''-元组可以被看作在<math>\left \{ 1,2, ..., n \right \}</math>上的函数，它在<math>i</math>上的值是这个元组的第''<math>i</math>''个元素。所以，在''<math>I</math>''是<math>\left \{ 1,2, ..., n \right \}</math>的时候，这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义給出的是[[集合族]]。

在无限情况，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是[[自然数|自然数集]]<math>\mathbb N,</math>的时候：这正是其中第''i''项对应于集合''<math>X_i</math>''的所有无限序列的集合。再次，<math>\mathbb R</math>提供了这样的一个例子：

:<math>\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots</math>

是实数的无限序列的[[类 (数学)|搜集]]，可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子''X<sub>i</sub>''都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。這樣，在最先定义中的[[并集#无限并集|无限并集]]自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从''I''到''X''的所有函数的集合。

在別的情況，无限笛卡儿积就不那麼直觀了；尽管在高等数学中的應用有其价值。

“非空集合的任意[[空集|非空]][[类 (数学)|搜集]]的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于[[选择公理]]。

== 函数的笛卡儿积 ==
如果<math>f</math>是从<math>A</math>到<math>B</math>的函数，而<math>g</math>是从<math>X</math>到<math>Y</math>的函数，则它们的'''笛卡儿积'''<math>f\times g</math>是从<math>A\times X</math>到<math>B\times Y</math>的函数，带有
:<math>(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))</math>
跟之前類似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的[[元组]]和无限情況。

== 参见 ==
* [[有序对]]
* [[幂集公理]]
* [[二元关系]]
* [[笛卡儿]]
* [[乘积拓扑]]
* [[乘积 (范畴论)]]
* [[拉回 (范畴论)]]

== 外部链接 ==
* [http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm Cartesian Product at ProvenMath]
* {{springer|title=Direct product|id=p/d032730}}

{{集合论}}
[[Category:勒内·笛卡尔]]
[[Category:集合論基本概念|D]]
[[Category:二元運算|D]]