查看“笛卡尔卵形线”的源代码

{{roughtranslation|time=2019-02-09T15:03:33+00:00}}
[[File:Exemplo-de-ovais-de-descartes.png|缩略图|147x147像素|笛卡爾卵形曲線的範例]]
在[[几何学]]中，以[[勒内·笛卡尔]]的名字命名的'''笛卡尔[[鵝蛋形|卵形线]]'''（{{lang-en|Cartesian oval}}），是一種[[平面曲线]]，指一群對兩定點具有相同[[線性組合]]的點所形成的集合。
==定義==
設<math>\text{P}</math>、<math>\text{Q}</math>為平面上兩定點，並令{{Math|d(''P'',''S'')}} 和 {{Math|d(''Q'',''S'')}}表一動點<math>\text{S}</math>分別與<math>\text{P}</math>、<math>\text{Q}</math>的[[欧几里得距离]]長，並令<math>\text{m}</math>及<math>\text{a}</math>為兩任意[[實數]]，則笛卡爾卵形線即為所有滿足方程式{{Math|1=d(''P'',''S'') + ''m'' d(''Q'',''S'') = ''a''}}之點所形成之[[軌跡]]。其中，由四組方程式 {{Math|1=d(''P'',''S'') + ''m'' d(''Q'',''S'') = ''± a''}}與{{Math|1=d(''P'',''S'') &minus; ''m'' d(''Q'',''S'') = ''± a''}}構成的兩組卵形線具有密切相關，兩者可構成一[[四次平面曲线]]稱為「'''Descartes卵形線'''」（{{lang-en|Ovals of Descartes}}）。<ref name="mactutor">{{MacTutor}}</ref>

== 特例 ==
在方程 {{Math|1=d(''P'',''S'') + ''m'' d(''Q'',''S'') = ''a''}}中，当 {{Math|1=''m'' = 1}} 和 {{Math|''a'' > d(''P'',''Q'')}}，得到的形状為[[椭圆]]。若是在''P''和''Q''重合的{{le|極限條件|Limiting case (mathematics)}}下，椭圆會变成[[圆形]]的。若<math>m = a/\text{d}(P,Q)</math>，會出現[[帕斯卡蜗线]]。如果 <math>m = -1</math> 和 <math>0<a<\text{d}(P, Q)</math>，圖形會是[[双曲线]]的一个分支的，不是封闭的卵形线。

== 多项式 ==
{{Math|(''x'',''y'')}}的坐標满足四次[[代数方程|多项方程式]]<ref name="mactutor">{{MacTutor}}</ref><ref name="rj1888">{{Citation|title=An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions|first=John Minot|last=Rice|first2=William Woolsey|last2=Johnson|edition=4th|publisher=J. Wiley|year=1888|pages=295–299|url=https://books.google.com/books?id=KuM2AAAAMAAJ&pg=PA295}}.</ref>

: {{Math|1=[(1 - ''m''<sup>2</sup>)(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>) + 2''m''<sup>2</sup>''cx'' + ''a''<sup>2</sup> &minus; ''m''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>]<sup>2</sup> = 4''a''<sup>2</sup>(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)}},

其中 {{Math|''c''}}为固定焦點 {{Math|1=''P'' = (0, 0)}} 和 {{Math|1=''Q'' = (''c'', 0)}}之間的距离 <math>\text{d}(P,Q)</math>，形成两个椭圆形，這些點會滿足以下四個方程式中的二個真正有解的方程式

: {{Math|1=d(''P'',''S'') ± ''m'' d(''Q'',''S'') =  ''a''}},

: {{Math|1=d(''P'',''S'') ± ''m'' d(''Q'',''S'') =  &minus;''a''}}<ref name="rj1888">{{Citation|title=An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions|first=John Minot|last=Rice|first2=William Woolsey|last2=Johnson|edition=4th|publisher=J. Wiley|year=1888|pages=295–299|url=https://books.google.com/books?id=KuM2AAAAMAAJ&pg=PA295}}.</ref>

两个椭圆形通常是断续的，除了在的情况， {{Mvar|P}} 或 {{Mvar|Q}} 属于他们。 至少两个垂线以 {{Math|''PQ''}} 通过点的 {{Mvar|''P''}} 和 {{Mvar|''Q''}} 削减这四次曲线中的四个实点；因此，他们一定是嵌套，至少有两个点的 {{Mvar|P}} 和 {{Mvar|Q}} 包含在内。<ref name="rj1888">{{Citation|title=An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions|first=John Minot|last=Rice|first2=William Woolsey|last2=Johnson|edition=4th|publisher=J. Wiley|year=1888|pages=295–299|url=https://books.google.com/books?id=KuM2AAAAMAAJ&pg=PA295}}.</ref> 对于一个不同的参数化并得到四次。

== 光学应用 ==
笛卡尔发现，笛卡尔卵形线可以用于[[透镜]]设计。通过材料折射率，确定与之匹配的 P 和 Q 的比值。再用得到的卵形线作出[[旋转曲面]]，就可以得到消[[球差]]透镜。<ref>{{Citation|title=Lenses and waves: Christiaan Huygens and the mathematical science of optics in the seventeenth century|volume=9|series=Archimedes, New studies in the history and philosophy of science and technology|first=Fokko Jan|last=Dijksterhuis|publisher=Springer-Verlag|year=2004|isbn=978-1-4020-2697-3|pages=13–14|url=https://books.google.com/books?id=cPFevyomPUIC&pg=PA13}}.</ref>

另外，球面波通过球面透镜或被球面凹面镜反射后，其折射或反射波的波前为笛卡尔卵形线。由球面像差形成的出射波[[包络线]]可以用笛卡尔卵形线的[[渐屈线]]描述。<ref>{{Citation|contribution=Chapter XVI. Contour of the refracted wave-front. Caustics|url=https://books.google.com/books?id=36cOAAAAYAAJ&pg=PA312|pages=312–327|title=Optics, a manual for students|first=Archibald Stanley|last=Percival|publisher=Macmillan|year=1899}}.</ref>

== 历史 ==
1637年，笛卡尔首先研究了笛卡尔卵形与光学元件的关系。

[[艾萨克·牛顿|牛顿]]从1664年开始也涉足笛卡尔卵形线的研究。从笛卡尔开始，人们就开始使用一种类似于画椭圆的方法绘制笛卡尔卵形线。 通过伸线。 如果一直延伸线从一个销在一个焦点，围绕着一个针，在第二个重点，并联系的自由端的程笔，采取的路径笔，当线绷紧，形成一个直角椭圆2:1的比率之间的距离的两个焦点。<ref name="gardner">{{Citation|title=The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications|first=Martin|last=Gardner|author-link=Martin Gardner|publisher=Springer-Verlag|year=2007|isbn=978-0-387-25827-0|pages=46–49}}.</ref> 但是，牛顿拒绝了这样的结构作不够严谨。<ref>{{Citation|pages=49 & 104|title=Isaac Newton on mathematical certainty and method|volume=4|series=Transformations: Studies in the History of Science and Technology|publisher=MIT Press|first=Niccolò|last=Guicciardini|year=2009|isbn=978-0-262-01317-8}}.</ref> 他定义了椭圆形作为解决一个 [[微分方程]]，建造其子法线，并再次调查它的光学性能。<ref>{{Citation|pages=139, 495, & 551|title=The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 3|first=Derek Thomas|last=Whiteside|publisher=Cambridge University Press|year=2008|isbn=978-0-521-04581-0}}.</ref>

法国数学家 [[米歇尔·沙勒|米歇尔]]夏斯莱发现，在19世纪，如果笛卡尔是椭圆形的定义由两点 {{Mvar|P}} 和 {{Mvar|Q}}，再有就是在一般的第三点 {{Mvar|R}} 对同样行使同样的椭圆形的也是限定的任何对这三点。<ref name="rj1888">{{Citation|title=An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions|first=John Minot|last=Rice|first2=William Woolsey|last2=Johnson|edition=4th|publisher=J. Wiley|year=1888|pages=295–299|url=https://books.google.com/books?id=KuM2AAAAMAAJ&pg=PA295}}.</ref>

[[詹姆斯·克拉克·麦克斯韦|詹姆斯*马克斯韦尔]] 重新发现了这些曲线，普遍他们的曲线定义保持恒定的加权总和的距离从三个或更多的焦点，并写了一份题为 ''意见的限制的数字具有多个病灶和半径的各种比例''的。 一个考虑到他的结果，标题 ''的说明椭圆曲线，以及那些具有多个重点''，是由 J.D.《福布斯》 ，并提交给了 [[爱丁堡皇家学会|皇家协会，爱丁堡]] ，在1846年，当麦克斯韦是在年轻的年龄为14(几乎15).<ref name="gardner">{{Citation|title=The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications|first=Martin|last=Gardner|author-link=Martin Gardner|publisher=Springer-Verlag|year=2007|isbn=978-0-387-25827-0|pages=46–49}}.</ref><ref><div>科学信件和文件的詹姆斯*麦克斯韦，编P.M.哈曼，第一卷，1846-1862，剑桥大学出版社，pg。 35</div></ref><ref><div>[https://web.archive.org/web/20100127173431/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Maxwell.html MacTutor学史档案]</div></ref>

== 參見 ==
* [[卡西尼卵形线]]
* [[雙心坐標系]]

== 参考文献 ==
<references group="" responsive=""></references>

== 外部連結 ==

* {{MathWorld|title=Cartesian Ovals}}
* [https://books.google.com/books/about/An_elementary_treatise_on_the_differenti.html?id=PWO2yvV13c0C 本杰明*威廉森，一个基本的论文上的差异微积分，包含理论的曲线平面(1884年)]
[[Category:代數曲線]]
[[Category:有未审阅翻译的页面]]