查看“第一基本形式”的源代码

{{Link style|time=2015-12-12T03:12:19+00:00}}
在[[微分几何]]中，'''第一基本形式'''（{{lang|en|first fundamental form}}）是三维[[欧几里得空间]]中一个[[曲面]]的[[切空间]]中[[内积]]，由 '''R'''<sup>3</sup> 中标准[[点积]]诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与[[环绕空间]]一致地计算。第一基本形式用[[罗马数字]] I 表示：

:<math>\mathrm{I}(v,w)= \langle v,w \rangle.\,</math>

设 ''X''(''u'',&nbsp;''v'') 是一个[[参数曲面]]，则两个[[切向量]]的内积为

:<math>
\begin{align}
& {} \quad \mathrm{I}(aX_u+bX_v,cX_u+dX_v) \\
& = ac \langle X_u,X_u \rangle + (ad+bc) \langle X_u,X_v \rangle + bd \langle X_v,X_v \rangle \\
& = Eac + F(ad+bc) + Gbd,
\end{align}
</math>

这里 ''E'', ''F'',与 ''G'' 是'''第一基本形式的系数'''。

第一基本形式可以表示为一个[[对称矩阵]]
:<math>\mathrm{I}(v,w) = v^T
\begin{pmatrix}
E & F \\
F & G
\end{pmatrix}w.
</math>

==进一步的记号==
当第一基本形式写成一个参数时，它表示向量与自己的内积，
:<math>\mathrm{I}(v)= \langle v,v \rangle = |v|^2.\,</math>

第一基本形式写成现代记法的[[度量张量]]。系数则可以写做 <math>g_{ij}</math>：
:<math> \left(g_{ij}\right) = \begin{pmatrix}g_{11} & g_{12} \\g_{21} & g_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}E & F \\F & G\end{pmatrix}</math>

这个张量的分量是切向量 ''X''<sub>1</sub> 与 ''X''<sub>2</sub> 的数量积：

:<math>g_{ij} = X_i \cdot X_j</math>
对 ''i'', ''j'' = 1, 2。具体例子可见下一节。

==计算长度与面积==
第一基本形式完全描述了曲面的度量性质。从而，它使我们可以计算曲面上曲线的长度与区域的面积。[[线元素]]（[[:en:line element|line element]]）可以用第一基本形式的系数表示为：
:<math>ds^2 = Edu^2+2Fdudv+Gdv^2 \,</math>. <!--- “\,”用于改善维基公式显示方式，请不要删除。 ---> 

由 <math> dA = |X_u \times X_v| \ du\, dv</math> 给出的经典[[面积元素]]可以用第一基本形式的系数利用[[拉格朗日恒等式]]（[[:en:Lagrange's identity|Lagrange's identity]]）写出，
:<math>dA = |X_u \times X_v| \ du\, dv= \sqrt{ \langle X_u,X_u \rangle \langle X_v,X_v \rangle - \langle X_u,X_v \rangle^2 } \ du\, dv = \sqrt{EG-F^2} \, du\, dv.</math>

===例子===
'''R'''<sup>3</sup> 中单位[[球面]]可如下参数化

:<math>X(u,v) = \begin{pmatrix} \cos u \sin v \\ \sin u \sin v \\ \cos v \end{pmatrix},\ (u,v) \in [0,2\pi) \times [0,\pi).</math>

<math>X(u,v)</math> 分别对 ''u'' 和 ''v'' 微分得出

:<math>X_u = \begin{pmatrix} -\sin u \sin v \\ \cos u \sin v \\ 0 \end{pmatrix},\ X_v = \begin{pmatrix} \cos u \cos v \\ \sin u \cos v \\ -\sin v \end{pmatrix}.</math>

第一基本形式的系数可由取[[偏导数]]的点积得到：
:<math>E = X_u \cdot X_u = \sin^2 v</math>
:<math>F = X_u \cdot X_v = 0</math>
:<math>G = X_v \cdot X_v = 1</math>

====球面上曲线的长度====
球面的[[赤道]]可由 <math>(u(t),v(t))=(t,\frac{\pi}{2})</math> 参数化，这里 ''t'' 取值于 0 到 <math>2\pi</math>。线元素可用来计算这个曲线的长度。

:<math>\int_0^{2\pi} \sqrt{ E\left(\frac{du}{dt}\right)^2 + 2F\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt} + G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2 } \,dt = \int_0^{2\pi} \sin v \,dt = 2\pi \sin v = 2\pi.</math>  

====球面上区域的面积====
面积元素可用来计算球面的面积：

:<math>\int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \sqrt{ EG-F^2 } \ du\, dv = \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \sin v \, du\, dv = 2\pi \left[-\cos v\right]_0^{\pi} = 4\pi.</math>

==高斯曲率==
{{main|高斯曲率}}
一个曲面的[[高斯曲率]]由

:<math> K = \frac{\det II}{\det I} = \frac{ LN-M^2}{EG-F^2 }, </math>

给出，这里 ''L'', ''M'', 与 ''N'' 是[[第二基本形式]]（[[:en:second fundamental form|second fundamental form]]）的系数。

[[卡尔·弗里德里希·高斯|高斯]]的[[绝妙定理]]断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一基本形式及其导数表示，从而 ''K'' 事实上是曲面的一个内蕴不变量。高斯曲率用第一基本形式明确的表达式由 [[高斯曲率#其它公式|Brioschi 公式]]给出。

==另见==
*[[度量张量]]
*[[第二基本形式]]

==外部链接==
*[http://mathworld.wolfram.com/FirstFundamentalForm.html First Fundamental Form — from Wolfram MathWorld]
*[http://planetmath.org/encyclopedia/FirstFundamentalForm.html PlanetMath: first fundamental form]

{{曲率}}

[[Category:曲面的微分几何|D]]
[[Category:微分几何|D]]
[[Category:曲面|D]]