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'''等周定理'''，又稱'''等周不等式'''（{{lang-en|'''isoperimetric inequality'''}}），是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理說明在[[周界]]长度相等的封闭几何[[形狀]]之中，以[[圓]]形的[[面積]]最大；另一個說法是面積相等的几何形狀之中，以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以[[不等式]]表達：若<math>P</math>為封闭[[曲線]]的周界长，<math>A</math>為曲線所包圍的區域面積，<math>4 \pi A \le P^2</math>。

虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后，数学家们陆续给出了不同的证明，其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的“[[微分几何|表面]]”或区域的最大“边界长度”问题等。

在物理中，等周问题和跟所谓的[[最小作用量原理]]有關。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下（例如失重的太空舱里），水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时，[[表面张力]]会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到。

==歷史==
[[Image:Isoperimetric inequality illustr1.svg|right|thumb|不完全[[凸]]的封閉曲線的話，能以「翻折」[[凹]]的部分以成為凸的圖形，以增加面積，而周长不变]]
[[Image:Isoperimetric inequality illustr2.svg|right|thumb|一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”，从而使得面积更大而周长不变。]]

平面上的等周问题是等周问题最经典的形式，它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为：在平面上所有周长一定的封闭曲线中，是否有一个围成的面积最大？如果有的话，是什么形状？另一种等价的表述是：当平面上的封闭曲线围成的面积一定时，怎样的曲线周长最小？

雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——{{link-en|雅各·史坦納|Jakob Steiner}}以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形<ref>J. Steiner, ''Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze'', J. reine angew Math.
'''18''', (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).</ref>。不久之后他的证明被其他数学家完善。

其方法包括證明了不完全[[凸]]的封閉曲線的話，能以「翻折」[[凹]]的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的''嚴格''證明。

1901年，[[阿道夫·赫維茲]]憑[[傅里叶级数]]和[[格林定理]]給出一個純解析的證明。

== 證明 ==
以下給出一個較初等的證明<ref>福原満洲雄、山中健，変分学入門，朝倉書店，1978.3.</ref>，分5步。

設一條長度為P的封閉曲綫圍成的區域的最大面積為A，亦以A、P來標記該區域及其邊界；那麼該圖形應當滿足如下性質：

1、A是一個凸區域。
* 假使不然，A是一個凹區域。那麼根據定義，可以在P內找到兩個點M和N，使其連線MN有一部份M'N'不包含于A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧，則周長將減少，面積將增加，從而將新圖形擴大若干倍后得到一個同樣周長，面積比A大的區域。矛盾。

2、凡平分周長P的弦必平分面積A。
* 如果一弦MN平分P而將A分為大小不同的兩部份<math>A_1>A_2</math>，那麼去掉<math>A_2</math>而將<math>A_1</math>對MN做對稱，則可得到一個周長仍然等於P而面積等於<math>2A_1 > A_1 + A_2 = A</math>的區域，矛盾。

3、凡平分A的弦，無論方向，長度相等。
* 如果不然，不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲綫（半個P，不妨記為<math>P_1</math>），以及M'N'及其任一側的區域（另行劃分的半個P，記為<math>P'_1</math>），并粘合在一起使得M'N'落在MN上，M與M'重合。
** 此時，新的圖形仍然滿足周長為P，面積為A的性質，且由於MN>M'N'，N'應落於MN之間。
* 以M為中心，分別對<math>P_1</math>和<math>P'_1</math>做<math>\lambda</math>和<math>\mu</math>倍的放縮，使兩曲綫的終端吻合（即N和N'經過變換之後重合，記為<math>N''</math>），得到兩個分別與原區域相似的區域<math>Q_1</math>和<math>Q'_1</math>。適當調整<math>\lambda</math>和<math>\mu</math>的值，使曲綫<math>M Q_1 N'' Q'_1 M</math>的周長仍為P。
** 此時<math>Q_1</math>和<math>Q'_1</math>的長度分別等於<math>P \lambda /2</math>和<math>P \mu /2</math>，所圍的面積分別等於<math>A \lambda^2 /2</math>和<math>A \mu^2 /2</math>；並且由於MN和MN'經過放縮后重合，有<math>\lambda MN = \mu MN'</math>。
* 由於曲綫<math>M Q_1 N'' Q'_1 M</math>的周長仍為P，故<math>P \lambda /2 + P \mu /2 = P</math>，從而<math>\lambda + \mu = 2</math>；而由<math>\lambda MN = \mu MN', MN>MN'</math>知<math>0< \lambda <1</math>。
* 所以，<math>M Q_1 N'' Q'_1 M</math>的面積為<math>A (\lambda^2 + \mu^2) /2 = A (\lambda^2 + (2 - \lambda)^2) /2 = A(\lambda^2 - 2\lambda + 2) > A</math>，與A最大矛盾。

4、若MN平分A，O為MN中點，那麼對P上任意一點R，都有OM=ON=OR。
* 以O為中心，做MRN的中心對稱圖形，R對稱到R'；那麼圖形MR'NRM的周長為P，面積為A。由第3步知MN和RR'的長度應該相等，而O也是RR'的中點，故得結論。

5、由於O到P上任意一點的距離都相等，所以P是圓。

== 参见 ==
* [[变分法]]
* [[普拉托问题]]
* [[挂谷集合]]
* {{link-en|移动沙发问题|moving sofa problem}}

==参考来源==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:isoperimetric inequality}}
[[Category:数学定理|D]]
[[Category:变分法]]
[[Category:几何不等式]]