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在[[数学]]上，'''等差-等比数列'''（简称'''差比数列'''，{{lang-en|arithmetico-geometric sequence}}）是一个[[等差数列]]与一个[[等比数列]]相乘的积。

==通项公式==

等差-等比数列有如下通项公式：<ref name="RILEY2010">{{cite book |author= K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence |title= Mathematical methods for physics and engineering|edition= 3rd|year= 2010|page=118|publisher= Cambridge University Press|isbn=978-0-521-86153-3}}</ref>

:<math>[a+(n-1)d] r^{n-1} </math>

其中<math> r </math>是[[等比数列|公比]]，而<math> r^{n-1} </math>的系数：

:<math>[a+(n-1)d]</math>

则是[[等差数列]]的项，其首项為<math>a</math>，公差<math>d</math>。

==等差-等比数列的求和公式==

等差-等比级数有如下形式；

:<math>\sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = a + (a+d)r + (a+2d)r^2 + \cdots + [a+(n-1)d]r^{n-1}</math>

其前''n''项之和为；

:<math>S_n = \sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = \frac{a}{1-r}-\frac{[a+(n-1)d]r^n}{1-r}+\frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}.</math>

===错位相减法===

由此级数开始：<ref name="RILEY2010" /><ref>{{cite journal|author=江凤莲|year=2001|title=利用“错位相减法”解数列问题|journal=龙岩师专学报|issue=S1|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-LYSX2001S1067.htm}}</ref>

:<math>S_n = a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}</math>

将''S<sub>n</sub>''乘以''r''，

:<math>r S_n = ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots +[a+(n-1)d]r^n</math>

''S<sub>n</sub>''减去''rS<sub>n</sub>''，

:<math>\begin{align} 
S_n(1-r) &=&\left\{a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right\} \\ 
& &- \left\{ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots + [ a+(n-1) d] r^n\right\} \\
& = & a+ \left[ dr + dr^2 + \cdots +dr^{n-1}\right] - [ a+(n-1)d ] r^n \\
& = & a + \left[ \frac{dr(1-r^{n-1})}{1-r}\right]-[a+(n-1)d]r^n\end{align}
</math>

在中间的项中使用[[等比数列|等比数列的求和公式]]。最后左右两边同除以(1 − ''r'')，得到最终结果。

===逐项求导===
:<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}</math>

对等比数列和两边求导：<ref>{{cite journal|author=李曰玮 刘瑞楼|year=2012|title=一类特殊多项式的求和问题|journal=高等数学研究|issue=1|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XUSJ201201025.htm}}</ref>

:<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n (k-1)r^{k-2}=\frac{nr^{n-1}}{r-1}-\frac{r^n-1}{(r-1)^2}</math>

:<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=a\frac{r^n-1}{r-1}+dr[\frac{nr^{n-1}}{r-1}-\frac{r^n-1}{(r-1)^2}]</math>

===裂项法===
待定系数s,t使得等差-等比数列可以裂项：<ref>{{cite journal|author=郑良|year=2012|title=差比型数列前n项和的求解方法——裂项法|journal=中学生数学|issue=3|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-ZXSS201203012.htm}}</ref>

:<math>[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sk+t)r^k-[s(k-1)+t]r^{k-1}</math>

用[[裂项法]]可以求出数列和：

:<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=(sn+t)r^n-t</math>

求出待定系数s,t关于a,d,r的表达式：

:<math>dk+a-d=s(r-1)k+(r-1)t+s</math>

:<math>\displaystyle s=\frac{d}{r-1},t=\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}</math>

:<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{d}{r-1}n+\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]</math>

===差分算子公式===
:<math>\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0),f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^kq^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}\Delta^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum_{k=0}^m (\frac{-q}{q-1})^k\Delta^k p(n+1)</math><ref>{{cite journal|author=黄嘉威|year=2016|title=方幂和及其推广和式|journal=数学学习与研究|issue=7|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SXYG201607113.htm}}</ref>
:其中<math>\Delta p(n)=p(n+1)-p(n)</math>

求出各阶[[差分]]：<math>p(n)=a+(n-1)d,\Delta p(n)=d</math>

:<math>\displaystyle f(n)=\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}</math>

:<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]</math>

==无穷级数==
如果 -1 < ''r'' < 1，那么其无穷级数为<ref name="RILEY2010" />

:<math>\lim_{n \to \infty}S_{n} = \frac{a}{1-r}+\frac{dr}{(1-r)^2}</math>

如果''r''在上述范围之外，则该级数不是[[发散级数]]就是[[交错级数]]。

==参见==

*[[序列]]

==参考文献==

{{reflist}}

[[Category:级数]]