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| T =-{zh-hans:算术基本定理; zh-hant:算術基本定理}-
| 1 =-{zh-hans:素数; zh-hant:質數; zh-mo:素數; zh:質数}-
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'''算术基本定理'''，又称为'''[[正整數]]的唯一分解定理'''，即：每个大于1的[[自然数]]，要么本身就是[[质数]]，要么可以写为2個或以上的質數的[[积]]，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。

例如:<math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2</math>，<math>1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2</math>。

算术基本定理的内容由两部分构成：
* 分解的存在性：
* 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是[[初等數論]]中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

== 定义 ==
<math>\forall A\in\mathbb{N},\,A>1\quad\exist \prod_{i=1}^n p_i^{a_i}=A</math>. 其中 <math>p_1<p_2<p_3<\cdots<p_n</math> 而且 <math>p_i</math> 是一个[[質数]]，<math>a_i\in\mathbb{Z}^+</math>.

這種表示的方法存在，而且是唯一的。

== 證明 ==
算术基本定理的最早证明是由[[欧几里得]]给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若質數<math>p|ab</math>，则不是 <math> p|a</math>，就是<math>p|b</math>。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

=== 必然性 ===
用[[反證法]]：假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。

自然數可以根据其'''可除性'''（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定义，<math>n</math>大于1。其次，<math>n</math>不是質數，因為質數<math>p</math>可以寫成質数乘积：<math>p=p</math>，這與假設不相符合。因此<math>n</math>只能是[[合數]]，但每个合數都可以分解成兩個严格小于自身而大於1的自然數的積。设<math>n = a \times b</math>，其中<math>a</math>和<math>b</math>都是介于1和<math>n</math>之间的自然数，因此，按照<math>n</math>的定义，由于n是大於1的自然數而不能寫成質數的乘積中最小的數，<math>a</math>和<math>b</math>都可以写成質数的乘积。从而<math>n = a \times b</math> 也可以写成質数的乘积。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

=== 唯一性 ===

[[歐幾里得引理]]：若質數<math>p|ab</math>，则不是 <math> p|a</math>，就是<math>p|b</math>。

引理的证明：若<math>p|a</math> 则证明完毕。若<math>p \nmid a</math>，那么两者的[[最大公约数]]为1。根据[[貝祖定理]]，存在<math>(m, n)</math> 使得<math>ma + np =1</math>。于是<math>b = b(ma + np) = abm + bnp</math>。
由于<math>p|ab</math>，上式右边两项都可以被''p''整除。所以<math>p|b</math>。

再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積，那么假设<math>n</math>是最小的一個。

首先<math>n</math>不是質数。將<math>n</math>用兩種方法寫出：<math>n=p_1 p_2 p_3 \cdots p_r = q_1 q_2 q_3 \cdots q_s</math> 。根據引理，質数<math>p_1|q_1 q_2 q_3 \cdots q_s</math> ，所以<math>q_1, q_2, q_3 \cdots q_s</math> 中有一個能被<math>p_1</math>整除，不妨设为<math>q_1</math>。但<math>q_1</math>也是質数，因此<math>q_1 = p_1</math> 。所以，比<math>n</math>小的正整数<math>n'=p_2 p_3 \cdots p_r</math>也可以写成<math>q_2 q_3 \cdots q_s</math> 。这与''<math>n</math>'' 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

== 相關 ==
在一般的[[數域]]中，並不存在相應的定理；事實上，在虛[[二次域]] <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-D}) \quad (D \in \mathbb{N})</math> 之中，只有少數幾個能滿足，最大的一個 <math>D</math> 是 <math>D=163</math>。例如，<math>6</math>可以以兩種方式在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 中表成整數乘積：<math>2\times 3</math> 和 <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。同樣的，在分圓整數中一般也不存在唯一分解性，而這恰恰是人們在証明[[費馬大定理]]時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數 <math>\mathbb{Z}</math> 中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，[[高斯]]則在複整數 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math> 中得出並証明，只要不計四個可逆元素 <math>(\pm 1, \pm i)</math> 之作用，那麼這個唯一分解定理在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math> 也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

== 高斯类数 ==
对于二次方程：<math>ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)</math>，它的根可以表示为：
<math>
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}
</math>

因为负数不能开平方，<math>b^{2}-4ac</math>的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：<math>f(x)=x^2+x+41 \qquad \left(a \ne 0 \right)</math>
<math>b^{2}-4ac=1-164=-163</math>
两个复数解為:
<math>
x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {163}i}{2}</math>

<math>a+b \sqrt[]{-d}</math>哪个<math>d</math>值可以得到唯一分解定理？
<math>d=1,2,3</math>皆可得到定理，但當<math>d=5</math>时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。
<math>6=2 \times 3</math>；<math>6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。在高斯时代，已知有9个<math>d</math>使得<math>a+b \sqrt[]{-d}</math>所产生的数有唯一因子分解（<math>a</math>，<math>b</math>如上面指出那样取值）。
<math>d=1,2,3,7,11,19,43,67,163</math>高斯认为<math>d</math>的數量不會超過10個，但是没有人能够证明。
1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师{{le|庫爾特·黑格納|Kurt Heegner}}（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个<math>d</math>值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。
为了紀念长期被忽视的希格内尔，上述的9個數被稱為[[黑格纳数]]，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。
参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

== 外部連結 ==
* {{en}} [http://demonstrations.wolfram.com/FundamentalTheoremOfArithmetic/ Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project]

{{基本定理}}

[[Category:数论]]
[[Category:数学定理|S]]

[[de:Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik]]