查看“索博列夫不等式”的源代码

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在[[数学分析]]中有一类关于[[Sobolev空间]]中的范数的'''Sobolev不等式'''。 这些不等式可以用于证明'''Sobolev嵌入定理'''，给出某些Sobolev空间的包含关系。而{{le|Rellich-Kondrachov定理|Rellich–Kondrachov theorem}}指出在稍强的条件下，一些Sobolev空间可以被{{le|紧嵌入|Compact embedding}}到另一个空间。 这类不等式得名于[[谢尔盖·利沃维奇·索博列夫]]。

== Sobolev嵌入定理 ==
令<span class="texhtml">''W<sup>&#x2009;k,p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>)</span>表示包含<span class="texhtml">'''R'''<sup>''n''</sup></span>上所有满足前k阶[[弱导数]]属于[[Lp空间|<span class="texhtml">''L<sup>p</sup>''</span>]]的实值函数的Sobolev空间。其中k是非负整数且有<span class="texhtml">1 ≤ ''p'' < ∞</span>。Sobolev嵌入定理的第一部分指出如果 <span class="texhtml">''k'' > ''ℓ''</span>且<span class="texhtml">1 ≤ ''p'' < ''q'' < ∞</span>满足<span class="texhtml">(''k'' − ''ℓ'')''p'' < ''n''</span>和
: <math>\frac{1}{q} = \frac{1}{p}-\frac{k-\ell}{n},</math>
那么
: <math>W^{k,p}(\mathbf{R}^n)\subseteq W^{\ell,q}(\mathbf{R}^n)</math>
并且该嵌入连续。在<span class="texhtml">''k'' = 1</span>且<span class="texhtml">''ℓ'' = 0</span>的特殊情形，Sobolev嵌入定理给出
: <math>W^{1,p}(\mathbf{R}^n) \subseteq L^{p^*}(\mathbf{R}^n)</math>
其中<span class="texhtml">''p''<sup>∗</sup></span>是p的{{le|Sobolev共轭|Sobolev conjugate}}，如下给出
: <math>\frac{1}{p^*} = \frac{1}{p} - \frac{1}{n}.</math>
这个Sobolev嵌入定理的特例可由[[Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式]]直接得出。

Sobolev嵌入定理的第二部分用于嵌入到[[Hölder空间]]<span class="texhtml">''C<sup>&#x2009;r,α</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>)</span>。如果<span class="texhtml">(''k'' − ''r'' − ''α'')/''n'' = 1/''p''</span>其中<span class="texhtml">''α'' ∈ (0, 1)</span>，则有嵌入
: <math>W^{k,p}(\mathbf{R}^n)\subset C^{r,\alpha}(\mathbf{R}^n).</math>
Sobolev嵌入的这个部分可由[[Morrey不等式]]直接得出。直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。

=== 推广 ===
Sobolev嵌入定理对于有其他适当定义域M的Sobolev空间''W<sup>&#x2009;k,p</sup>''(''M'')也成立。特别的<ref name=Aubin1982>{{Citation|last1=Aubin| first1=Thierry | title=Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | isbn=978-0-387-90704-8 | mr=681859 | year=1982 | volume=252}}</ref><ref name=Aubin1976>{{Citation|last1=Aubin| first1=Thierry | title=Espaces de Sobolev sur les variétés riemanniennes | mr=0488125 | year=1976 | journal=Bulletin des Sciences Mathématiques. 2e Série | issn=0007-4497 | volume=100 | issue=2 | pages=149–173}}</ref>，Sobolev嵌入的两个部分在满足下列条件时成立
* M是<span class="texhtml">'''R'''<sup>''n''</sup></span>上有Lipschitz边界的[[有界集合|有界]][[开集]]（或者边界满足锥条件<ref name=Adams1975>{{citation|mr=0450957|last= Adams|first= Robert A.|title=Sobolev spaces|series=Pure and Applied Mathematics, |volume= 65.|publisher= Academic Press |publication-place= New York-London|year= 1975|pages= xviii+268| isbn=978-0-12-044150-1 }}</ref>）
* M是[[紧]][[黎曼流形]]
* M是有Lipschitz边界的紧[[带边黎曼流形]]
* M是满足[[单射半径]]<span class="texhtml">''δ'' > 0</span>且[[截面曲率]]有界的完备黎曼流形。

=== Kondrachov嵌入定理 ===
在有<span class="texhtml">''C''<sup>1</sup></span>边界的紧流形上，'''Kondrachov嵌入定理'''指出如果<span class="texhtml">''k'' > ''ℓ''</span>且<span class="texhtml">''k'' − ''n''/''p'' > ''ℓ'' − ''n''/''q''</span>则Sobolev嵌入
: <math>W^{k,p}(M)\subset W^{\ell,q}(M)</math>
是[[全连续]]（紧）的。

== Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式 ==
假设u是<span class="texhtml">'''R'''<sup>''n''</sup></span>上拥有[[紧支集]]的连续可微实值函数。对于<span class="texhtml">1 &#x2264; ''p'' < ''n''</span>存在常数C只依赖于n和p使得
: <math>\|u\|_{L^{p^*}(\mathbf{R}^n)}\leq C \|Du\|_{L^{p}(\mathbf{R}^n)}.</math>
其中1/p* = 1/p - 1/n。<math> 1< p < n </math>的情形由Sobolev给出， <math>  p =1 </math>的情形由Gagliardo和Nirenberg独立给出。Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接导出Sobolev嵌入
: <math>W^{1,p}(\mathbf{R}^n) \sub L^{p^*}(\mathbf{R}^n).</math>
<span class="texhtml">'''R'''<sup>''n''</sup></span>上其他阶的嵌入可由适当的迭代得到。

== Hardy–Littlewood–Sobolev引理 ==
Sobolev给出的Sobolev嵌入定理的最初的证明基于如下定理，有时被称为Hardy–Littlewood–Sobolev[[分数次积分]]定理。一个等价陈述被称为'''Sobolev引理'''<ref name=Aubin1982></ref><ref name=Stein>{{citation|first=Elias|last=Stein|title=Singular integrals and differentiability properties of functions|publisher=[[Princeton University Press]]|location=Princeton, NJ|year=1970|isbn=0-691-08079-8}}</ref>。

令<span class="texhtml">0 < ''α'' < ''n''</span>且<span class="texhtml">1 < ''p'' < ''q'' < ∞</span>。令<span class="texhtml">''I<sub>α</sub>'' = (−Δ)<sup>−''α''/2</sup></span>是 <span class="texhtml">'''R'''<sup>''n''</sup></span>上的Riesz势。那么，对于q如下定义
: <math>q = \frac{pn}{n-\alpha p}</math>
存在常数C只依赖于p使得
: <math>\left \|I_\alpha f \right \|_q \le C \|f\|_p.</math>
如果<span class="texhtml">''p'' = 1</span>，则有两个替代估计。第一个是更经典的弱估计：
: <math>m \left \{x : \left |I_\alpha f(x) \right | > \lambda \right \} \le C \left( \frac{\|f\|_1}{\lambda} \right )^q,</math>


其中<span class="texhtml">1/''q'' = 1 − ''α''/''n''</span>。另一个估计是

<math>\left \|I_\alpha f \right \|_q \le C \|Rf\|_1,</math>
: <math>\frac{1}{p^*} = \frac{1}{p} - \frac{1}{n}.</math>
其中<math> Rf </math>是向量值[[Riesz变换]]<ref name=Schikorra>{{Citation|last1=Schikorra| first1=Armin |last2=Spector| first2=Daniel |last3= Van Schaftingen| first3=Jean | title=An L^1-type estimate for Riesz potentials|arxiv=1411.2318}}</ref>。[[Riesz变换]]的有界性意味着一族不等式可由上述不等式统一表达。

Hardy–Littlewood–Sobolev引理导出Sobolev嵌入本质上是利用[[Riesz变换]]和Riesz势的关系。

== Morrey不等式 ==
假设<span class="texhtml">''n'' < ''p'' ≤ ∞</span>。存在常数C只依赖于p和n，使得
: <math>\|u\|_{C^{0,\gamma}(\mathbf{R}^n)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(\mathbf{R}^n)}</math>

: <math>W^{k,p}(\mathbf{R}^n)\subset C^{r,\alpha}(\mathbf{R}^n).</math>

对所有<span class="texhtml">''u'' ∈ ''C''<sup>1</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) ∩ ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>)</span>，其中
: <math>\gamma=1-\frac{n}{p}.</math>
因此如果<span class="texhtml">''u'' ∈ ''W''<sup>&#x2009;1,''p''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)</span>，则u在一个零测集上重新定义后，实际上为指数γ的Hölder连续。

一个类似的结果在带有''C''<sup>1</sup>边界的有界定义域U上成立。此时，
: <math>\|u\|_{C^{0,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(U)}</math>
其中常数C现在依赖于<span class="texhtml">''n'', ''p''</span>和U。这一不等式可由前一不等式利用从<span class="texhtml">''W''<sup>&#x2009;1,''p''</sup>(''U'')</span>到<span class="texhtml">''W''<sup>&#x2009;1,''p''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)</span>的保范延拓得到。

== 一般Sobolev不等式 ==
令U为<span class="texhtml">'''R'''<sup>''n''</sup></span>上带有<span class="texhtml">''C''<sup>1</sup></span>边界的有界开集。（U也可以无界，但这种情况下，它的边界如果存在，则必须是充分好的。）假设<span class="texhtml">''u'' ∈ ''W<sup>&#x2009;k,p</sup>''(''U'')</span>，考虑两种情况：
=== <span class="texhtml">''k'' < ''n''/''p''</span> ===
这时<span class="texhtml">''u'' ∈ ''L<sup>q</sup>''(''U'')</span>，其中
: <math>\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k}{n}.</math>
有估计
: <math>\|u\|_{L^q(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)}</math>,

常数C只依赖于<span class="texhtml">''k'', ''p'', ''n''</span>和U。

=== <span class="texhtml">''k'' > ''n''/''p''</span> ===
这里u属于[[赫爾德條件|Hölder空间]]，更精确的：
: <math> u \in C^{k-\left[\frac{n}{p}\right]-1,\gamma}(U),</math>
其中
: <math>\gamma = \begin{cases}
\left[\frac{n}{p}\right]+1-\frac{n}{p} & \frac{n}{p} \notin \mathbf{Z} \\
\text{any element in } (0, 1) & \frac{n}{p} \in \mathbf{Z}
\end{cases}</math>
有估计
: <math>\|u\|_{C^{k-\left[\frac{n}{p}\right]-1,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)},</math>
常数C只依赖于<span class="texhtml">''k'', ''p'', ''n'', ''γ''</span>和U。

== <math>p=n, k=1</math>情形 ==
如果<math>u\in W^{1,n}(\mathbf{R}^n)</math>，则u是[[有界平均振动]]函数且有
: <math>\|u\|_{BMO} \leq C \|Du\|_{L^n(\mathbf{R}^n)},</math>
对于某个常数C只依赖于n。这个估计是[[庞加莱不等式]]的推论。

== 纳什不等式 ==
纳什不等式，由[[约翰·福布斯·纳什|约翰·纳什]]<ref name=Nash>{{citation|last=Nash|first=J.|title=Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations|journal=Amer. J. Math.|volume=80|year=1958|pages=931–954| doi=10.2307/2372841 |jstor=2372841| issue=4 |publisher=American Journal of Mathematics, Vol. 80, No. 4}}</ref>引入，指出存在一个常数<span class="texhtml">''C'' > 0</span>，满足对所有<span class="texhtml">''u'' ∈ ''L''<sup>1</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) ∩ ''W''<sup>&#x2009;1,2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)</span>,
: <math>\|u\|_{L^2(\mathbf{R}^n)}^{1+2/n} \leq C\|u\|_{L^1(\mathbf{R}^n)}^{2/n} \| Du\|_{L^2(\mathbf{R}^n)}.</math>
这个不等式由[[傅立叶变换]]的基本性质导出。实际上，在半径为ρ的球的补集上的积分，

{{NumBlk|:|<math>\int_{|x|\ge\rho} \left |\hat{u}(x) \right |^2\,dx \le \int_{|x|\ge\rho} \frac{|x|^2}{\rho^2} \left |\hat{u}(x) \right |^2\,dx\le \rho^{-2}\int_{\mathbf{R}^n}|D u|^2\,dx</math>|{{EquationRef|1}}}}

由[[帕塞瓦尔定理]]。另一方面，有
: <math>|\hat{u}| \le \|u\|_{L^1}</math>
，在半径为ρ的球上的积分给出

{{NumBlk|:|<math>\int_{|x|\le\rho} |\hat{u}(x)|^2\,dx \le \rho^n\omega_n \|u\|_{L^1}^2</math>|{{EquationRef|2}}}}

其中<span class="texhtml">''ω<sub>n</sub>''</span>是[[N维球面|n维球]]的体积。选择ρ最小化({{EquationNote|1}})和({{EquationNote|2}})的和，再次使用帕塞瓦尔定理：
: <math>\|\hat{u}\|_{L^2} = \|u\|_{L^2}</math>
给出不等式。

在<span class="texhtml">''n'' = 1</span>的特殊情形，纳什不等式可以扩展到<span class="texhtml">''L<sup>p</sup>''</span>情形，此时是Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的推广。实际上，如果I是有界区间，则对所有<span class="texhtml">1 ≤ ''r'' < ∞</span>和所有<span class="texhtml">1 ≤ ''q'' ≤ ''p'' < ∞</span>如下不等式成立
: <math>\| u\|_{L^p(I)}\le C\| u\|^{1-a}_{L^q(I)} \|u\|^a_{W^{1,r}(I)},</math>
其中
: <math>a\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{r}+1\right)=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}.</math>

== 参考文献 ==

{{reflist}}
*{{citation|first=Haïm|last=Brezis|title=Analyse fonctionnelle : théorie et applications|publisher=Masson|location=Paris|year=1983|isbn=0-8218-0772-2}}
*{{citation|first=Lawrence|last=Evans| title=Partial Differential Equations | publisher=American Mathematical Society, Providence | year=1998 | isbn=0-8218-0772-2}}
*Leoni, Giovanni (2009), ''[http://bookstore.ams.org/gsm-105 A First Course in Sobolev Spaces]'', Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2527916 MR2527916], [https://zbmath.org/?q=an:1180.46001&format=complete Zbl 1180.46001], [http://www.maa.org/press/maa-reviews/a-first-course-in-sobolev-spaces MAA]
*{{citation|first=Maz'ja|last=Vladimir G.|title=Sobolev spaces|series=Springer Series in Soviet Mathematics|publisher=Springer-Verlag|publication-place=Berlin|year=1985}}, Translated from the Russian by T. O. Shaposhnikova.
*{{springer|id=i/i050230|title=Imbedding theorems|first=S.M.|last= Nikol'skii}}
[[Category:不等式]]