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'''索末菲恒等式''' 是由阿诺德索末菲提出的一个数学恒等式，该恒等式用于波传播理论中， 

:<math>
\frac{{e^{ik R} }}
{R} = \int\limits_0^\infty I_0(\lambda r) e^{ - \mu \left| z \right| } \frac{{\lambda d \lambda}}{{\mu}}
</math>

其中

:<math>
\mu = 
\sqrt {\lambda ^2  - k^2 } 
</math>

取正实数部分，以确保积分收敛和 <math> z  \rightarrow \pm \infty </math>

:<math>
R^2=r^2+z^2
</math>。

<math>R</math>  表示到原点的距离，同时 <math>r</math>是<math>(r,\phi,z)</math> [[圓柱坐標系|柱坐标系统]]中到圆柱中心轴的距离。 这里贝塞尔函数的符号遵循德国惯例，与索末菲使用的原始符号一致。<math>I_0(z)</math>第一类零阶贝塞尔函数，在英文文献中通常标记为<math>I_0(z)=J_0(iz)</math> 。
<ref>Sommerfeld, A.,Partial Differential Equations in Physics,Academic Press,New York,1964</ref>。

索末菲恒等式可以更容易地看作是球面波特别是圆柱对称波的扩展，

:<math>
\frac{{e^{ik_0 r} }}
{r} = i\int\limits_0^\infty  {dk_\rho  \frac{{k_\rho  }}
{{k_z }}J_0 (k_\rho  \rho )e^{ik_z \left| z \right|} } 
</math>

其中

:<math>
k_z=(k_0^2-k_\rho^2)^{1/2}
</math>

<ref>Chew, W.C.,Waves and Fields in Inhomogeneous Media,Van Nostrand Reinhold,New York,1990</ref>. 这里使用的符号不同于上面： 这里的<math>r</math> 是[[圓柱坐標系|圆柱坐标系]]中的径向距离。 其物理解释是球面波可以扩展成为<math>\rho</math>方向上柱面波的总和，乘以 <math>z</math> 方向上双面平面波，参见 [[:en:Jacobi–Anger_expansion|Jacobi-Anger expansion]]。 必须对所有波数 <math>k_\rho</math>求和。

索末菲恒等式与柱对称的二维 [[傅里叶变换]]密切相关，即[[Hankel变换|汉克尔变换]]。 它是通过改变沿面坐标(<math>x</math>,<math>y</math>, 或 <math>\rho</math>, <math>\phi</math>)的球面波，但不改变沿高度坐标<math>z</math>得到的。

== 参考文献  ==
[[Category:数学恒等式]]
[[Category:物理小作品]]