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[[數學]]上，'''維塔利(Vitali)覆蓋引理'''是一個[[組合幾何]]的結果，用於[[實分析]]中。這引理說給出一族[[球 (數學)|球]]，可以從中找到[[不交集|互不相交]]的球，將這些球半徑增加一定倍後，就能把其他的球都覆蓋住。

==引理敘述==
===有限多球===
在一個[[度量空間]]中有一族[[閉集|閉]]球<math>B_1,\ldots,B_n</math>，則這一族球中存在互不相交的球<math>B_{i_1},\ldots,B_{i_m}</math>，適合條件
::<math>B_1\cup\ldots \cup B_n \subset 3B_{i_1}\cup\ldots \cup 3B_{i_m}</math>
<math>3B_{i_k}</math>表示和<math>B_{i_k}</math>有相同中心，而半徑是<math>B_{i_k}</math>的三倍的球。
===無限多球===
在一個[[度量空間]]中有一族半徑為正數的閉球<math>\{B_i:i\in I\}</math>，這族球的半徑有有限的[[上界]]，即
::<math>\sup_I \mathrm{rad}(B_i) <\infty</math>
則這一族球中存在互不相交的球<math>\{B_i:i\in I'\}</math>，<math>I'\subset I</math>，適合條件
::<math>\bigcup_{i\in I} B_i \subset \bigcup_{i\in I'}5B_i</math>
<math>5B_i</math>表示和<math>B_i</math>有相同中心，而半徑是<math>B_i</math>的五倍的球。
==證明==
===有限情形===
取這一族球中半徑最大的一個球<math>B_{i_1}</math>，然後除去所有與<math>B_{i_1}</math>相交的球。再從剩下的球中取半徑最大的為<math>B_{i_2}</math>，如此類推。那麼任何其他的球必定因為和某個<math>B_{i_k}</math>相交而被除去，這個球的半徑不大於<math>B_{i_k}</math>，因此包含在<math>3B_{i_k}</math>之內。
===無限情形===
設這一族球的半徑的[[上確界]]為''R''。將這一族按半徑分成[[子集]]<math>\mathcal F_j</math>，''j''為正整數；<math>\mathcal F_j</math>包含半徑在[[區間]]<math>(R/2^{j},R/2^{j-1}]</math>的球。依次取<math>\mathcal G_1,\mathcal G_2,\cdots</math>如下：
#設<math>\mathcal F'_1=\mathcal F_1</math>。取<math>\mathcal G_1</math>為<math>\mathcal F'_1</math>內互不相交球的子集之中的[[極大元|極大]]者，即其他在<math>\mathcal F'_1</math>中的球都與這一子集中某個球相交。從[[佐恩引理]]知這樣的<math>\mathcal G_1</math>存在，以下同。
#設已取<math>\mathcal G_1,\cdots, \mathcal G_{k-1}</math>，''k''為某大於1的整數。設<math>\mathcal F'_k</math>是<math>\mathcal F_k</math>中不與<math>\mathcal G_1\cup \cdots \cup \mathcal G_{k-1}</math>中任何球相交的全部球的子集。取<math>\mathcal G_k</math>為<math>\mathcal F'_k</math>內互不相交球的子集之中的極大者。

設<math>\mathcal G=\bigcup_{k=1}^\infty \mathcal G_k</math>。任何其他的球''B''必在某一個<math>\mathcal F'_k</math>中，因此這個球與<math>\mathcal G_k</math>中一個球<math>B'</math>相交，而<math>B'</math>的半徑大於''B''的半徑的二分之一，故此''B''包含在<math>5B'</math>之內。

==討論==
因為有無限多球時，可能不存在半徑最大的球，所以在構造中，每一步選擇的球的半徑，只要求接近餘下的球的半徑的上確界。而結果中的5並非最佳常數。將<math>\mathcal F_j</math>的定義中的<math>2^j,2^{j+1}</math>的2換成任何大於1的數''c''，那麼就可把結果中的5換成1+2''c''，即可以用任何大於3的數取代。不過由於未必有半徑最大的球，以致不能像有限多球時用3取代，以下是一個簡單例子。
===例子===
在平面<math>\mathbb R^2</math>中，給出如下的一族球：對每個正整數''n''，<math>B_n</math>是半徑為<math>2-1/n</math>的閉球，若''n''為奇數，<math>B_n</math>的圓心在<math>(2-1/n,0)</math>；若''n''為偶數，則圓心在<math>(-2+1/n,0)</math>。所有球都包含[[原點]](0,0)，故任意兩個球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一個球。這一族球的半徑上確界是2，然而全部球的半徑都小於2。若選任何一個<math>B_n</math>為這個子集，因有半徑更大的球<math>B_{n+1}</math>在原點的另一側，故此<math>3B_n</math>不覆蓋<math>B_{n+1}</math>。

==應用==
這條引理用於證明[[哈代－李特爾伍德極大函數|哈代－李特爾伍德極大不等式]]。

==參見==
*[[貝西科維奇覆蓋定理]]

==參考==
*Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). ''Measure Theory and Fine Properties of Functions''. CRC Press.

[[Category:測度論]]
[[Category:集合論]]