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'''維格納定理'''（'''Wigner's theorem'''）是由[[尤金·维格纳]]在1931年证明的<ref>E. P. Wigner, Gruppentheorie (Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig, Germany, 1931), pp. 251-254; Group Theory (Academic Press Inc., New York, 1959), pp. 233-236</ref>，这个定理是[[量子力学的数学表述]]的奠基石。这个定理描述的是系统的[[对称性 (物理学)|对称性]]，即例如旋转，平移或者[[CPT对称|CPT]]这些操作是如何改变[[希尔伯特空间]]上的态。

根据这个定理，任何对称性操作都是希尔伯特空间上的一个[[幺正算符|幺正变换]]或者{{link-en|反幺正变换|antiunitary operator}}。更准确的说，这个定理描述的是在一个复的希尔伯特空间<math>H</math> 上，如果对任意的<math>x,y \in H</math>都有[[满射]]<math>T:H\rightarrow H</math>使得
:<math>|\langle Tx,Ty\rangle|=|\langle x,y\rangle|</math>
则对任意的<math>x\in H</math>该满射可以被改写成如下形式<math>Tx=\varphi(x)Ux</math>其中<math>\varphi:H\rightarrow \mathbb{C}</math> 的 [[绝对值|模]] 为1，而<math>U:H\rightarrow H</math>是幺正或者反幺正的。

==量子力学中的对称性==
在[[量子力学]]和[[量子场论]]里，我们用一个矢量（[[狄拉克符號|右矢]]）来表征一个或多个粒子或场的量子态。任何[[对称性 (物理学)|对称操作]]，比如“将所有粒子和场在时间的方向上都向前移动5秒”，或者是“将粒子和场通过[[洛伦兹变换]]变换到在x轴方向以5m/s相对运动的参照系中”，这些都相当于希尔伯特空间上的一个操作''T''。这个操作''T''一定要是[[双射]]的，因为任何一个量子态都必须有个唯一的的对应的变换后的态，反之亦然。还有，当一个系统初始状态为<math>y</math>变换到状态<math>x</math>的概率为<math>|\langle x,y\rangle|^2</math>。既然''T''是一个对称操作，那么一个系统初始状态为<math>Ty</math>变换到<math>Tx</math>的概率和前面是一样的；因此，<math>|\langle Tx,Ty\rangle|^2=|\langle x,y\rangle|^2</math>。于是，操作''T''就满足了魏格纳定理的假设。

根据魏格纳定理，''T''要么是幺正变换，要么是反幺正变换。在上面的两个例子里（时间变换和洛伦兹变换），''T''是幺正变换。而[[时间反演对称|时间反演变换]]是一个典型的反幺正变换。

==参见==
* {{link-en|粒子物理学与表示论|Particle physics and representation theory}}

==参考资料==
=== 文内引用 ===
<references/>

=== 补充来源 ===
* Bargmann, V.  "Note on Wigner's Theorem on Symmetry Operations".  Journal of Mathematical Physics Vol 5, no. 7, Jul 1964.
* Molnar, Lajos.  "An Algebraic Approach to Wigner's Unitary-Antiunitary Theorem". {{arxiv|math|9808033}}
*Simon, R., Mukunda, N., Chaturvedi, S., Srinivasan, V., 2008. Two elementary proofs of the Wigner theorem on symmetry in quantum mechanics. Phys. Lett. A 372, 6847–6852.
* Mouchet, Amaury. "An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis". Physics Letters A 377 (2013) 2709-2711. [http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00807644 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00807644]

{{DEFAULTSORT:Wigner's theorem}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:希尔伯特空间]]