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{{noteTA|G1=Math}}{{No footnotes|time=2017-03-16T00:14:57+00:00}} '''纖維-{}-束'''('''fiber bundle''' 或 '''fibre bundle)'''又稱'''纖維-{}-叢''',在[[数学]]上,特别是在[[拓扑学]]中,是一个局部看来像[[直积]]空间,但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个[[连续]][[满射]] <math>\pi :E\rightarrow B</math> ''E'' 和乘積空間 ''B'' × ''F'' 的局部類似性可以用映射 <math>\pi</math> 來說明。也就是說:在每個 ''E'' 的局部空間 <math>U</math>,都存在一個相同的''F''(''F'' 稱作纖維空間),使得 <math>\pi</math> 限制在 <math>U</math> 上時 與[[直积空间]] ''B'' × ''F'' 的投影 <math>P:B\times F\mapsto B,\quad P(b, f)=b</math> 相似。(通常會用此滿射:π : ''E'' → ''B'' 來表示一個纖維叢,而忽略''F'' ) 如果 <math>E=B\times F</math>,也就是一个可以整体上等於乘積空間的丛叫做'''''平凡丛'''''(trivial bundle)。 纤维丛扩展了[[向量丛]](vector bundle),向量丛的主要实例就是[[流形]]的[[切丛]](tangent bundle)。他们在[[微分拓扑]]和[[微分几何]]领域有着重要的作用。他们也是[[规范场论]]的基本概念。 ==正式定義== 一个纤维丛由四元组(''E'', ''B'', π, ''F'')组成,其中''E'', ''B'', ''F'' 是[[拓扑空间]]而π : ''E'' → ''B'' 是一个[[连续]]满射,满足下面给出的局部平凡(local triviality)条件。''B'' 称为丛的'''基空间'''(base space),''E'' 称为'''总空间'''(total space),而''F'' 称为'''纤维'''(fiber)。映射π 称为'''投影映射'''.下面我们假定基空间''B'' 是[[连通空间|连通]]的。 我们要求对于''B'' 中的每个點 ''x'',存在一个在 ''B'' 中 包含 ''x'' 的开[[邻域]]''U'',並有一個[[同胚]]映射 φ:π<sup>−1</sup>(''U'')→ ''U'' × ''F'' (顯然 ''U'' × ''F'' 是一個乘積空間) ,φ 並且要滿足 <math>\textstyle \pi(y)=\operatorname{proj}_1\circ\varphi(y),\,\forall y\in\pi^{-1}(U)</math>,也就是下圖是可[[交换]]的: <div style="text-align: center;"> [[File:FiberBundle-01.png|Local triviality condition]] </div> 其中 proj<sub>1</sub> : ''U'' × ''F'' → ''U'' 是自然投影而 φ : π<sup>−1</sup>(''U'') → ''U'' × ''F'' 是一个同胚(這裡的局部平凡條件有些書會定義為 <math>\textstyle x=\pi\circ\varphi^{-1}(x, f),\,\forall x\in U, f\in F</math>)。所有{(''U''<sub>''i''</sub>, φ<sub>''i''</sub>)} 的集合称为丛的'''局部平凡化'''。 对于 ''B'' 中每點 ''p'',原象(preimage)π<sup>−1</sup>(''p'') 和 ''F'' 同胚并称为點 '''''p'' 上的纤维'''.一个纤维丛(''E'', ''B'', π, ''F'')经常记为 :<math>F \longrightarrow E \ \xrightarrow{\, \ \pi \ } \ B</math> 以引入一个空间的[[短恰当序列]]。注意每个纖維叢 π : ''E'' → ''B'' 都是一个[[开映射]],因为积空间的投影是开映射。所以 ''B'' 有由映射π决定的[[商拓扑]](quotient topology). 一个'''光滑纤维丛'''是一个在[[光滑流形]]的[[范畴]]内的纤维丛。也就是,''E'', ''B'', ''F''都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是[[光滑映射]]。 == 例子 == 令''E'' = ''B'' × ''F''并令π : ''E'' → ''B''为对第一个因子的投影,则''E''是''B''上的丛.这里''E''不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为'''平凡丛'''. [[File:MobiusStrip-01.png|thumb|right|莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。]] 最简单的非平凡丛的例子可能要算[[莫比乌斯带]](Möbius strip).莫比乌斯带是一个以[[圆]]为基空间''B''并以线段为纤维''F''的丛。对于一点<math>x \in B</math>的邻域是一段圆弧;在图中,就是其中一个方块的长。原象<math>\pi^{-1}(U)</math>在图中是个(有些扭转的)切片,4个方块宽一个方块长。同胚φ把''U''的原象映到柱面的一块:弯曲但不扭转. 相应的平凡丛''B'' × ''F''看起来像一个[[圆柱]],但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来;局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样(在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间)。 一个类似的非平凡丛是[[克莱因瓶]],它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环,''S''<sup>1</sup> × ''S''<sup>1</sup>。 一个'''[[覆盖空间]]'''是一个以[[离散空间]]为纤维的纤维丛。 纤维丛的一个特例,叫做'''[[向量丛]]''',是那些纤维为[[向量空间]]的丛(要成为一个向量丛,丛的结构群—见下面—必须是一个[[线性群]])。向量丛的重要实例包括光滑流形的[[切丛]]和[[余切丛]]。 另一个纤维丛的特例叫做'''[[主丛]]'''。更多的例子参看该条目。 一个'''球丛'''是一个纤维为[[n維球面]]的纤维丛。给定一个有[[度量]]的向量丛(例如[[黎曼流形]]的切丛),可以构造一个相应的''单位球丛'',其在一点''x''的纤维是所有''E''<sub>''x''</sub>的单位向量的集合. == 截面 == {{main|截面 (纤维丛)}} 纤维丛的'''截面'''(section或者'''cross section''')是一个连续映射''f'' : ''B'' → ''E''使得π(''f''(''x''))=''x''对于所有''B''中的''x''成立。因为丛通常没有全局有定义的截面,理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了[[代数拓扑]]的[[示性类]]理论。 截面经常只被局部的定义(特别是当全局截面不存在时)。纤维丛的'''局部截面'''是一个连续映射''f'' : ''U'' → ''E''其中''U''是一个''B''中的[[开集]]而π(''f''(''x''))=''x''对所有''U''中的''x''成立。若(''U'', φ)是一个局部平凡化图,则局部截面在 ''U''上总是存在的。这种截面和连续映射''U'' → ''F''有1-1对应。截面的集合组成一个[[层 (数学)|层]](sheaf)。 ==结构群和转移函数== 纤维丛经常有一个对称[[群]]描述重叠的图之间的相容条件。特别的,令''G''为一个[[拓扑群]],它连续的从左边[[群作用|作用]]在纤维空间''F''上。不失一般性的,我们可以要求''G''有效的作用在''F''上,以便把它看成是''F''的[[同胚]]群。纖維叢的一个'''''G''-[[图册 (数学)|图册]]'''(''E'', ''B'', π, ''F'')是之前定義過的''局部平凡化''並且滿足:对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图(''U''<sub>''i''</sub>, φ<sub>''i''</sub>)和(''U''<sub>''j''</sub>, φ<sub>''j''</sub>)且 <math>U_i\cap U_j \neq \emptyset</math>,則函数 :<math>\varphi_i\varphi_j^{-1} : (U_i \cap U_j) \times F \to (U_i \cap U_j) \times F</math> 是由以下方式给出: :<math>\varphi_i\varphi_j^{-1}(x, \xi) = (x, t_{ij}(x)\xi),\quad \forall x\in U_i \cap U_j, \xi\in F</math> 其中 <math>t_{ij} : U_i \cap U_j \to G</math> 是一个称为'''转移函数(transition function)'''的连续映射。两个''G''-圖冊是等價的如果他们的聯集也是''G''-圖冊。一个'''''G''-丛'''是有''G''-圖冊等价类的纤维丛。群''G''稱为该丛的'''结构群(structure group)。''' 在光滑范畴中,一个''G''-丛是一个光滑纤维丛,其中''G''是一个[[李群]]而相应的在''F''上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。 转移函数''t''<sub>''ij''</sub>满足以下条件 #<math>t_{ii}(x) = 1</math> #<math>t_{ij}(x) = t_{ji}(x)^{-1}</math> #<math>t_{ik}(x) = t_{ij}(x)t_{jk}(x)</math> 第三个条件用到三個相交的 <math>U_i \cap U_j \cap U_k</math>上叫做'''上链条件(cocycle condition,'''见[[Cech上同调|Čech上同调]])。 一个[[主丛]]是一个''G''-丛,其纤维可以认为是''G''本身,并且有一个在全空间上的''G''的右作用保持纤维不变。 == 参见 == * [[向量丛]] * [[主丛]] * [[拉回丛]](pullback bundle) * [[纤维化 (数学)|纤维化]] * [[覆盖映射]] * [[规范场论]] == 外部链接 == *[https://web.archive.org/web/20040808115056/http://planetmath.org/encyclopedia/FiberBundle.html PlanetMath: Fiber Bundle] *[http://mathworld.wolfram.com/FiberBundle.html MathWorld: Fiber Bundle] == 参考 == *Norman Steenrod, ''The Topology of Fiber Bundles'', Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6. *David Bleecker, ''Gauge Theory and Variational Principles'', Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one. {{Authority control}} [[Category:纤维丛|*]] [[Category:微分几何|X]] [[Category:代数拓扑]] [[Category:同伦论]]
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